Estadística: ecuación de regresión cuadrática

La regresión cuadrática se implementa para encontrar una ecuación de la parábola que se ajuste mejor al conjunto de datos dado. Es de la siguiente forma:

$ {y = ax ^ 2 + bx + c \ donde \ a \ ne 0} $

El método de mínimos cuadrados se puede utilizar para encontrar la ecuación de regresión cuadrática. En este método, encontramos el valor de a, byc de modo que la distancia vertical al cuadrado entre cada punto dado ($ {x_i, y_i} $) y la ecuación de la parábola ($ {y = ax ^ 2 + bx + 2} $) es mínimo. La ecuación matricial para la curva parabólica viene dada por:

$ {\ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 4 & \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 \\ \ sum {x_i} ^ 3 & \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i \\ \ sum {x_i} ^ 2 & \ sum x_i & n \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} a \\ b \\ c \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sum {x_i} ^ 2 {y_i} \\ \ sum x_iy_i \\ \ sum y_i \ end {bmatrix}} $

Coeficiente de correlación, r

El coeficiente de correlación, r determina qué tan bien puede ajustarse una ecuación quardrática a los datos dados. Si r está cerca de 1, entonces es un buen ajuste. r se puede calcular mediante la siguiente fórmula.

$ {r = 1 - \ frac {SSE} {SST} \ donde \\ [7pt] \ SSE = \ sum (y_i - a {x_i} ^ 2 - bx + i - c) ^ 2 \\ [7pt] \ SST = \ sum (y_i - \ bar y) ^ 2} $

Generalmente, las calculadoras de regresión cuadrática se utilizan para calcular la ecuación de regresión cuadrática.

Ejemplo

Problem Statement:

Calcule la ecuación de regresión cuadrática de los siguientes datos. Compruebe su mejor estado físico.

X -3 -2 -1 0 1 2 3
y 7.5 3 0,5 1 3 6 14

Solution:

Calcule una regresión cuadrática en la calculadora poniendo los valores de x e y. La ecuación cuadrática de mejor ajuste para los puntos anteriores viene como

$ {y = 1.1071x ^ 2 + 0.5714x} $

Para verificar la mejor condición física, trace la gráfica.

Entonces, el valor del coeficiente de correlación, r para los datos es 0.99420 y está cerca de 1. Por lo tanto, la ecuación de regresión cuadrática es la que mejor se ajusta.