Estadística - Teorema multiplicativo de probabilidad

Para eventos independientes

El teorema establece que la probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos eventos que son independientes está dada por el producto de sus probabilidades individuales.

$ {P (A \ y \ B) = P (A) \ veces P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ veces P (B)} $

El teorema puede extenderse a tres o más eventos independientes también como

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) P (A, B \ and \ C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C)} $

Ejemplo

Problem Statement:

Una universidad debe nombrar a un profesor que debe ser B.Com., MBA y Ph. D, cuya probabilidad es $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} } $ y $ {\ frac {1} {40}} $ respectivamente. Calcule la probabilidad de que la universidad designe a una persona así.

Solution:

Probabilidad de que una persona sea un B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $

Probabilidad de que una persona sea un MBA P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

Probabilidad de que una persona sea Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $

Usar el teorema multiplicativo para eventos independientes

$ {P (A, B \ y \ C) = P (A) \ veces P (B) \ veces P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ veces \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

Para eventos dependientes (probabilidad condicional)

Como se definió anteriormente, los eventos dependientes son aquellos en los que la ocurrencia o no ocurrencia de un evento afecta el resultado del siguiente evento. Para tales eventos, el teorema multiplicativo establecido anteriormente no es aplicable. La probabilidad asociada con tales eventos se denomina probabilidad condicional y viene dada por

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ o $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Lea P (A / B) como la probabilidad de que ocurra el evento A cuando el evento B ya ocurrió.

De manera similar, la probabilidad condicional de B dada A es

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ o $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

Ejemplo

Problem Statement:

Se lanza una moneda 2 veces. El lanzamiento resultó en una cara y una cruz. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer lanzamiento resulte en cruz?

Solution:

El espacio muestral de una moneda lanzada dos veces se da como S = {HH, HT, TH, TT}

Sea el Evento A el primer lanzamiento que resulte en una cruz.

El evento B es que ocurrió una cola y una cabeza.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] Entonces \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0.5} $