Estadísticas: estimación de intervalos

La estimación de intervalo es el uso de datos de muestra para calcular un intervalo de valores posibles (o probables) de un parámetro de población desconocido, en contraste con la estimación puntual, que es un número único.

Fórmula

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Donde -

  • $ {\ bar x} $ = media

  • $ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = el coeficiente de confianza

  • $ {\ alpha} $ = nivel de confianza

  • $ {\ sigma} $ = desviación estándar

  • $ {n} $ = tamaño de muestra

Ejemplo

Problem Statement:

Suponga que un estudiante que mide la temperatura de ebullición de cierto líquido observa las lecturas (en grados Celsius) 102.5, 101.7, 103.1, 100.9, 100.5 y 102.2 en 6 muestras diferentes del líquido. Calcula que la media muestral es 101,82. Si sabe que la desviación estándar para este procedimiento es de 1,2 grados, ¿cuál es la estimación del intervalo para la media de la población a un nivel de confianza del 95%?

Solution:

El estudiante calculó que la media muestral de las temperaturas de ebullición era 101,82, con una desviación estándar $ {\ sigma = 0,49} $. El valor crítico para un intervalo de confianza del 95% es 1,96, donde $ {\ frac {1-0,95} {2} = 0,025} $. Un intervalo de confianza del 95% para la media desconocida.

$ {= ((101.82 - (1.96 \ times 0.49)), (101.82 + (1.96 \ times 0.49))) \\ [7pt] \ = (101.82 - 0.96, 101.82 + 0.96) \\ [7pt] \ = ( 100,86; 102,78)} $

A medida que disminuye el nivel de confianza, el tamaño del intervalo correspondiente disminuirá. Suponga que al estudiante le interesa un intervalo de confianza del 90% para la temperatura de ebullición. En este caso, $ {\ sigma = 0.90} $ y $ {\ frac {1-0.90} {2} = 0.05} $. El valor crítico para este nivel es igual a 1.645, por lo que el intervalo de confianza del 90% es

$ {= ((101.82 - (1.645 \ times 0.49)), (101.82 + (1.645 \ times 0.49))) \\ [7pt] \ = (101.82 - 0.81, 101.82 + 0.81) \\ [7pt] \ = ( 101.01, 102.63)} $

Un aumento en el tamaño de la muestra reducirá la duración del intervalo de confianza sin reducir el nivel de confianza. Esto se debe a que la desviación estándar disminuye a medida que n aumenta.

Margen de error

El margen de error $ {m} $ de la estimación del intervalo se define como el valor agregado o sustraído de la media muestral que determina la duración del intervalo:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Suponga que en el ejemplo anterior, el estudiante desea tener un margen de error igual a 0.5 con un 95% de confianza. Sustituyendo los valores apropiados en la expresión de $ {m} $ y despejando n se obtiene el cálculo.

$ {n = {(1.96 \ veces \ frac {1.2} {0.5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2.35} {0.5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4.7 )} ^ 2 \ = 22.09} $

Para lograr una estimación de intervalo del 95% para el punto de ebullición medio con una longitud total menor a 1 grado, el estudiante deberá tomar 23 mediciones.