Estadísticas: regresión lineal

Una vez establecido el grado de relación entre variables mediante el análisis de correlación, es natural profundizar en la naturaleza de la relación. El análisis de regresión ayuda a determinar la relación de causa y efecto entre las variables. Es posible predecir el valor de otras variables (llamadas variables dependientes) si los valores de las variables independientes se pueden predecir usando un método gráfico o el método algebraico.

Método gráfico

Implica dibujar un diagrama de dispersión con variable independiente en el eje X y variable dependiente en el eje Y. Después de eso, se dibuja una línea de tal manera que atraviesa la mayor parte de la distribución, con los puntos restantes distribuidos casi uniformemente a ambos lados de la línea.

Una línea de regresión se conoce como la línea de mejor ajuste que resume el movimiento general de datos. Muestra los mejores valores medios de una variable correspondientes a los valores medios de la otra. La línea de regresión se basa en el criterio de que es una línea recta que minimiza la suma de las desviaciones al cuadrado entre los valores predichos y observados de la variable dependiente.

Método algebraico

El método algebraico desarrolla dos ecuaciones de regresión de X sobre Y e Y sobre X.

Ecuación de regresión de Y sobre X

Donde -

• $ {Y} $ = Variable dependiente

• $ {X} $ = Variable independiente

• $ {a} $ = Constante que muestra la intersección con el eje Y

• $ {b} $ = Constante que muestra la pendiente de la línea

Los valores de ayb se obtienen mediante las siguientes ecuaciones normales:

Donde -

• $ {N} $ = Número de observaciones

Ecuación de regresión de X sobre Y

Donde -

• $ {X} $ = Variable dependiente

• $ {Y} $ = Variable independiente

• $ {a} $ = Constante que muestra la intersección con el eje Y

• $ {b} $ = Constante que muestra la pendiente de la línea

Los valores de ayb se obtienen mediante las siguientes ecuaciones normales:

Donde -

• $ {N} $ = Número de observaciones

Ejemplo

Problem Statement:

Un investigador ha descubierto que existe una correlación entre las tendencias de peso de padre e hijo. Ahora está interesado en desarrollar una ecuación de regresión en dos variables a partir de los datos proporcionados:

Peso del padre (en Kg)	69	63	66	64	67	64	70	66	68	67	sesenta y cinco	71
Peso del hijo (en Kg)	70	sesenta y cinco	68	sesenta y cinco	69	66	68	sesenta y cinco	71	67	64	72

Desarrollar

1. Ecuación de regresión de Y sobre X.

2. Ecuación de regresión de Y.

Solution:

$ {X} $	$ {X ^ 2} $	$ {Y} $	$ {Y ^ 2} $	$ {XY} $
69	4761	70	4900	4830
63	3969	sesenta y cinco	4225	4095
66	4356	68	4624	4488
64	4096	sesenta y cinco	4225	4160
67	4489	69	4761	4623
64	4096	66	4356	4224
70	4900	68	4624	4760
66	4356	sesenta y cinco	4225	4290
68	4624	71	5041	4828
67	4489	67	4489	4489
sesenta y cinco	4225	64	4096	4160
71	5041	72	5184	5112
$ {\ sum X = 800} $	$ {\ sum X ^ 2 = 53,402} $	$ {\ sum Y = 810} $	$ {\ sum Y ^ 2 = 54,750} $	$ {\ sum XY = 54,059} $

Ecuación de regresión de Y sobre X

Y = a + bX

Donde, ayb se obtienen mediante ecuaciones normales

Multiplicando la ecuación (i) con 800 y la ecuación (ii) con 12, obtenemos:

Restar la ecuación (iv) de (iii)

Sustituyendo el valor de b en la ecuación. (yo)

Por tanto, la ecuación Y en X se puede escribir como

Ecuación de regresión de X sobre Y

X = a + bY

Donde, ayb se obtienen mediante ecuaciones normales

Multiplicando la ecuación (v) por 810 y la ecuación (vi) por 12, obtenemos

Restar eq viii de eq vii

Sustituyendo el valor de b en la ecuación (v)

Por tanto, la ecuación de regresión de X e Y es