Estadística - Teorema de Chebyshev

La fracción de cualquier conjunto de números que se encuentran dentro de k desviaciones estándar de esos números de la media de esos números es al menos

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Donde -

  • $ {k = \ frac {la \ dentro de \ número} {la \ desviación \ estándar}} $

y $ {k} $ debe ser mayor que 1

Ejemplo

Problem Statement:

Use el teorema de Chebyshev para encontrar qué porcentaje de los valores caerá entre 123 y 179 para un conjunto de datos con una media de 151 y una desviación estándar de 14.

Solution:

  • Restamos 151-123 y obtenemos 28, lo que nos dice que 123 está 28 unidades por debajo de la media.

  • Restamos 179-151 y también obtenemos 28, lo que nos dice que 151 está 28 unidades por encima de la media.

  • Esos dos juntos nos dicen que los valores entre 123 y 179 están todos dentro de 28 unidades de la media. Por lo tanto, el "número interno" es 28.

  • Por lo tanto, encontramos el número de desviaciones estándar, k, que equivale al "número interno", 28, dividiéndolo por la desviación estándar:

$ {k = \ frac {la \ dentro de \ número} {la \ desviación \ estándar} = \ frac {28} {14} = 2} $

Entonces ahora sabemos que los valores entre 123 y 179 están todos dentro de 28 unidades de la media, que es lo mismo que dentro de k = 2 desviaciones estándar de la media. Ahora, como k> 1 podemos usar la fórmula de Chebyshev para encontrar la fracción de los datos que están dentro de k = 2 desviaciones estándar de la media. Sustituyendo k = 2 tenemos:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Entonces $ {\ frac {3} {4}} $ de los datos se encuentran entre 123 y 179. Y como $ {\ frac {3} {4} = 75} $%, eso implica que el 75% de los valores de los datos están entre 123 y 179.