Estadística - Teorema de probabilidad aditiva

Para eventos mutuamente exclusivos

El teorema aditivo de probabilidad establece que si A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de A o B viene dada por

$ {P (A \ o \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B)} $

El teorema puede extenderse a tres eventos mutuamente excluyentes también como

$ {P (A \ taza B \ taza C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

Ejemplo

Problem Statement:

Se saca una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de que sea un rey o una reina?

Solution:

Let Event (A) = Robar una carta de rey

Evento (B) Robo de una carta de reina

P (la carta es el rey o la reina) = P (la carta es el rey) + P (la carta es la reina)

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Para eventos no mutuamente exclusivos

En caso de que exista la posibilidad de que ocurran ambos eventos, entonces el teorema aditivo se escribe como:

$ {P (A \ o \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ y \ B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B ) - P (AB)} $

Ejemplo

Problem Statement:

Se sabe que un tirador acerta en un objetivo 3 de 7 tiros; si se sabe que otro tirador acertó en el objetivo 2 de cada 5 tiros. Calcula la probabilidad de que el objetivo sea alcanzado cuando ambos lo intentan.

Solution:

Probabilidad de que el primer tirador dé en el blanco P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Probabilidad de que el segundo tirador dé en el blanco P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

Los eventos A y B no son mutuamente excluyentes ya que ambos tiradores pueden dar en el blanco. Por tanto, la regla aditiva aplicable es

$ {P (A \ taza B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ frac {23} {35}} $