Estadísticas - Curtosis

El grado de cola de una distribución se mide por curtosis. Nos dice hasta qué punto la distribución es más o menos propensa a valores atípicos (más pesada o de cola ligera) que la distribución normal. A continuación se muestran tres tipos diferentes de curvas, cortesía de Investopedia:

Es difícil distinguir diferentes tipos de curtosis a partir de las gráficas de densidad (panel izquierdo) porque las colas son cercanas a cero para todas las distribuciones. Pero las diferencias en las colas son fáciles de ver en las gráficas normales de cuantiles-cuantiles (panel derecho).

La curva normal se llama curva mesocúrtica. Si la curva de una distribución es más propensa a valores atípicos (o con una cola más pesada) que una curva normal o mesocúrtica, se la denomina curva leptocurtica. Si una curva es menos propensa a valores atípicos (o tiene una cola más clara) que una curva normal, se denomina curva platicúrtica. La curtosis se mide por momentos y viene dada por la siguiente fórmula:

Fórmula

$ {\ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {\ mu_2}} $

Donde -

  • $ {\ mu_4 = \ frac {\ sum (x- \ bar x) ^ 4} {N}} $

Cuanto mayor sea el valor de \ beta_2, más puntiaguda o leptocúrtica será la curva. Una curva normal tiene un valor de 3, una leptocúrtica tiene \ beta_2 mayor que 3 y platicúrtica tiene \ beta_2 menor que 3.

Ejemplo

Problem Statement:

Se dan los datos sobre los salarios diarios de 45 trabajadores de una fábrica. Calcule \ beta_1 y \ beta_2 usando el momento sobre la media. Comente los resultados.

Salarios (Rs.) Numero de trabajadores
100-200 1
120-200 2
140-200 6
160-200 20
180-200 11
200-200 3
220-200 2

Solution:

Salarios
(Rs.)		 Número de trabajadores
(f)		 Punto medio
m		 m - $ {\ frac {170} {20}} $
d		 $ {fd} $ $ {fd ^ 2} $ $ {fd ^ 3} $ $ {fd ^ 4} $
100-200 1 110 -3 -3 9 -27 81
120-200 2 130 -2 -4 8 -dieciséis 32
140-200 6 150 -1 -6 6 -6 6
160-200 20 170 0 0 0 0 0
180-200 11 190 1 11 11 11 11
200-200 3 210 2 6 12 24 48
220-200 2 230 3 6 18 54 162
  $ {N = 45} $     $ {\ sum fd = 10} $ $ {\ sum fd ^ 2 = 64} $ $ {\ sum fd ^ 3 = 40} $ $ {\ sum fd ^ 4 = 330} $

Dado que las desviaciones se han tomado de una media supuesta, primero calculamos los momentos sobre el origen arbitrario y luego los momentos sobre la media. Momentos sobre el origen arbitrario '170'

$ {\ mu_1 ^ 1 = \ frac {\ sum fd} {N} \ times i = \ frac {10} {45} \ times 20 = 4.44 \\ [7pt] \ mu_2 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ times i ^ 2 = \ frac {64} {45} \ times 20 ^ 2 = 568.88 \\ [7pt] \ mu_3 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 2} {N} \ veces i ^ 3 = \ frac {40} {45} \ times 20 ^ 3 = 7111.11 \\ [7pt] \ mu_4 ^ 1 = \ frac {\ sum fd ^ 4} {N} \ times i ^ 4 = \ frac {330} {45} \ times 20 ^ 4 = 1173333.33} $

Momentos sobre la media

$ {\ mu_2 = \ mu'_2 - (\ mu'_1) ^ 2 = 568.88- (4.44) ^ 2 = 549.16 \\ [7pt] \ mu_3 = \ mu'_3 - 3 (\ mu'_1) (\ mu'_2) + 2 (\ mu'_1) ^ 3 \\ [7pt] \, = 7111.11 - (4.44) (568.88) + 2 (4.44) ^ 3 \\ [7pt] \, = 7111.11 - 7577.48 + 175.05 = - 291,32 \\ [7pt] \\ [7pt] \ mu_4 = \ mu'_4 - 4 (\ mu'_1) (\ mu'_3) + 6 (\ mu_1) ^ 2 (\ mu'_2) -3 (\ mu'_1) ^ 4 \\ [7pt] \, = 1173333.33 - 4 (4.44) (7111.11) +6 (4.44) ^ 2 (568.88) - 3 (4.44) ^ 4 \\ [7pt] \, = 1173333.33 - 126293.31 + 67288.03-1165.87 \\ [7pt] \, = 1113162.18} $

A partir del valor del movimiento sobre la media, ahora podemos calcular $ {\ beta_1} $ y $ {\ beta_2} $:

$ {\ beta_1 = \ mu ^ 2_3 = \ frac {(- 291.32) ^ 2} {(549.16) ^ 3} = 0.00051 \\ [7pt] \ beta_2 = \ frac {\ mu_4} {(\ mu_2) ^ 2 } = \ frac {1113162.18} {(546.16) ^ 2} = 3.69} $

De los cálculos anteriores, se puede concluir que $ {\ beta_1} $, que mide la asimetría es casi cero, lo que indica que la distribución es casi simétrica. $ {\ beta_2} $ que mide la curtosis, tiene un valor mayor que 3, lo que implica que la distribución es leptocúrtica.