DSP - Propiedades de transformación Z

En este capítulo, comprenderemos las propiedades básicas de las transformadas Z.

Linealidad

Establece que cuando dos o más señales discretas individuales se multiplican por constantes, sus respectivas transformadas Z también se multiplicarán por las mismas constantes.

Matemáticamente,

$$ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $$

Proof - Lo sabemos,

$$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n)) Z ^ {- n} $

$ = a_1 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} + a_2 \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 ​​(n) Z ^ {- n} $

$ = a_1X_1 (z) + a_2X_2 (z) $ (Por lo tanto probado)

Aquí, la ROC es $ ROC_1 \ bigcap ROC_2 $.

Cambio de hora

La propiedad de desplazamiento de tiempo describe cómo el cambio en el dominio del tiempo en la señal discreta afectará el dominio Z, que se puede escribir como;

$$ x (n-n_0) \ longleftrightarrow X (Z) Z ^ {- n} $$

O $ x (n-1) \ longleftrightarrow Z ^ {- 1} X (Z) $

Proof -

Sea $ y (P) = X (PK) $

$ Y (z) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty (x (pk)) Z ^ {- p} $

Sea s = pk

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- (s + k)} $

$ = \ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (s) Z ^ {- s} Z ^ {- k} $

$ = Z ^ {- k} [\ sum_ {s = - \ infty} ^ \ infty x (m) Z ^ {- s}] $

$ = Z ^ {- k} X (Z) $ (Por lo tanto probado)

Aquí, ROC se puede escribir como Z = 0 (p> 0) o Z = ∞ (p <0)

Ejemplo

U (n) y U (n-1) se pueden representar de la siguiente manera

La transformación Z de U (n) cab se escribe como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n)] Z ^ {- n} = 1 $

La transformación Z de U (n-1) se puede escribir como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [U (n-1)] Z ^ {- n} = Z ^ {- 1} $

Entonces aquí $ x (n-n_0) = Z ^ {- n_0} X (Z) $ (Por lo tanto probado)

Escala de tiempo

La propiedad Time Scaling nos dice cuál será el dominio Z de la señal cuando el tiempo se escale en su forma discreta, que se puede escribir como;

$$ a ^ nx (n) \ longleftrightarrow X (a ^ {- 1} Z) $$

Proof -

Sea $ y (p) = a ^ {p} x (p) $

$ Y (P) = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty y (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty a ^ px (p) Z ^ {- p} $

$ = \ sum_ {p = - \ infty} ^ \ infty x (p) [a ^ {- 1} Z] ^ {- p} $

$ = X (a ^ {- 1} Z) $ (Por lo tanto probado)

ROC: = Mod (ar1) <Mod (Z) <Mod (ar2) donde Mod = Modulus

Ejemplo

Determinemos la transformación Z de $ x (n) = a ^ n \ cos \ omega n $ usando la propiedad de escala de tiempo.

Solution -

Ya sabemos que la transformación Z de la señal $ \ cos (\ omega n) $ viene dada por -

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (\ cos \ omega n) Z ^ {- n} = (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $$

Ahora, aplicando la propiedad de escalado de tiempo, la transformación Z de $ a ^ n \ cos \ omega n $ se puede escribir como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty (a ^ n \ cos \ omega n) Z ^ {- n} = X (a ^ {- 1} Z) $

$ = [(a ^ {- 1} Z) ^ 2- (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n)] / ((a ^ {- 1} Z) ^ 2-2 (a ^ {- 1} Z \ cos \ omega n) +1) $

$ = Z (Za \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2az \ cos \ omega + a ^ 2) $

Diferenciación sucesiva

La propiedad de diferenciación sucesiva muestra que la transformación Z tendrá lugar cuando diferenciamos la señal discreta en el dominio del tiempo, con respecto al tiempo. Esto se muestra a continuación.

$$ \ frac {dx (n)} {dn} = (1-Z ^ {- 1}) X (Z) $$

Proof -

Considere el LHS de la ecuación - $ \ frac {dx (n)} {dn} $

$$ = \ frac {[x (n) -x (n-1)]} {[n- (n-1)]} $$

$ = x (n) -X (n-1) $

$ = x (Z) -Z ^ {- 1} x (Z) $

$ = (1-Z ^ {- 1}) x (Z) $ (Por lo tanto probado)

ROC: R1 <Mod (Z) <R2

Ejemplo

Encontremos la transformada Z de una señal dada por $ x (n) = n ^ 2u (n) $

Por propiedad podemos escribir

$ Zz [nU (n)] = -Z \ frac {dZ [U (n)]} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [\ frac {Z} {Z-1}]} {dZ} $

$ = Z / ((Z-1) ^ 2 $

$ = y (dejar) $

Ahora, Z [ny] se puede averiguar aplicando nuevamente la propiedad,

$ Z (n, y) = -Z \ frac {dy} {dz} $

$ = -Z \ frac {d [Z / (Z-1) ^ 3]} {dz} $

$ = Z (Z + 1) / (Z-1) ^ 2 $

Circunvolución

Esto representa el cambio en el dominio Z del sistema cuando tiene lugar una convolución en la forma de señal discreta, que se puede escribir como:

$ x_1 (n) * x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (Z) .X_2 (Z) $

Proof -

$ X (Z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty [\ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) x_2 (nk)] Z ^ {- n} $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_n ^ \ infty x_2 ​​(nk) Z ^ {- n}] $

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 ​​(nk) Z ^ {- (nk)} Z ^ {- k}] PS

Sea nk = l, entonces la ecuación anterior cab se escribe como -

$ X (Z) = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) [Z ^ {- k} \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x_2 ​​(l) Z ^ {- l PS

$ = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (k) X_2 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_2 (Z) \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty x_1 (Z) Z ^ {- k} $

$ = X_1 (Z) .X_2 (Z) $ (Por lo tanto probado)

ROC: $ ROC \ bigcap ROC2 $

Ejemplo

Encontremos la convolución dada por dos señales.

$ x_1 (n) = \ lbrace 3, -2,2 \ rbrace $ ... (ecuación 1)

$ x_2 (n) = \ lbrace 2,0 \ leq 4 \ quad y \ quad 0 \ quad en otro lugar \ rbrace $ ... (ec. 2)

La transformación Z de la primera ecuación se puede escribir como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_1 (n) Z ^ {- n} $

$ = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

La transformación Z de la segunda señal se puede escribir como;

$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_2 ​​(n) Z ^ {- n} $

$ = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Entonces, la convolución de las dos señales anteriores está dada por:

$ X (Z) = [x_1 (Z) ^ * x_2 (Z)] $

$ = [3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2}] \ times [2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4 PS

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + ... \ quad ... \ quad ... $

Tomando la transformación Z inversa obtenemos,

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $

Teorema del valor inicial

Si x (n) es una secuencia causal, que tiene su transformación Z como X (z), entonces el teorema del valor inicial se puede escribir como;

$ X (n) (en \ quad n = 0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) $

Proof - Lo sabemos,

$ X (Z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $

Ampliando la serie anterior, obtenemos;

$ = X (0) Z ^ 0 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

$ = X (0) \ times 1 + X (1) Z ^ {- 1} + X (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... $

En el caso anterior, si Z → ∞ entonces $ Z ^ {- n} \ rightarrow 0 $ (Porque n> 0)

Por tanto, podemos decir;

$ \ lim_ {z \ to \ infty} X (z) = X (0) $ (Por lo tanto probado)

Teorema del valor final

El teorema del valor final establece que si la transformada Z de una señal se representa como X (Z) y los polos están todos dentro del círculo, entonces su valor final se denota como x (n) o X (∞) y se puede escribir como -

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $

Conditions -

• Es aplicable solo para sistemas causales.
• $ X (Z) (1-Z ^ {- 1}) $ debe tener polos dentro del círculo unitario en el plano Z.

Proof - sabemos que

$ Z ^ + [x (n + 1) -x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Flecha derecha Z ^ + [x (n + 1)] - Z ^ + [x (n)] = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

$ \ Flecha derecha Z [X (Z) ^ + - x (0)] - X (Z) ^ + = \ lim_ {k \ to \ infty} \ sum_ {n = 0} ^ kZ ^ {- n} [x (n + 1) -x (n)] $

Aquí, podemos aplicar la propiedad avanzada de transformación Z unilateral. Entonces, la ecuación anterior se puede reescribir como;

$ Z ^ + [x (n + 1)] = Z [X (2) ^ + - x (0) Z ^ 0] = Z [X (Z) ^ + - x (0)] $

Ahora poniendo z = 1 en la ecuación anterior, podemos expandir la ecuación anterior -

$ \ lim_ {k \ to \ infty} {[x (1) -x (0) + x (6) -x (1) + x (3) -x (2) + ... \ quad ... \ quad ... + x (x + 1) -x (k)]} $

Esto se puede formular como;

$ X (\ infty) = \ lim_ {n \ to \ infty} X (n) = \ lim_ {z \ to 1} [X (Z) (1-Z ^ {- 1})] $ (Por lo tanto probado)

Ejemplo

Encontremos el valor inicial y final de x (n) cuya señal está dada por

$ X (Z) = 2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2} $

Solution - Primero, encontremos el valor inicial de la señal aplicando el teorema

$ x (0) = \ lim_ {z \ to \ infty} X (Z) $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2}] $

$ = 2 + (\ frac {3} {\ infty}) + (\ frac {4} {\ infty}) = 2 $

Ahora encontremos el valor final de la señal aplicando el teorema

$ x (\ infty) = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) X (Z)] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [(1-Z ^ {- 1}) (2 + 3Z ^ {- 1} + 4Z ^ {- 2})] $

$ = \ lim_ {z \ to \ infty} [2 + Z ^ {- 1} + Z ^ {- 2} -4Z ^ {- 3}] $

$ = 2 + 1 + 1-4 = 0 $

Some other properties of Z-transform are listed below -

Diferenciación en frecuencia

Da el cambio en el dominio Z de la señal, cuando su señal discreta se diferencia con respecto al tiempo.

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dX (z)} {dz} $

Su ROC se puede escribir como;

$ r_2 <Mod (Z) <r_1 $

Ejemplo

Encontremos el valor de x (n) mediante Diferenciación en frecuencia, cuya señal discreta en el dominio Z está dada por $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) = log (1 + aZ ^ {- 1}) $

Por propiedad, podemos escribir que

$ nx (n) \ longleftrightarrow -Z \ frac {dx (Z)} {dz} $

$ = -Z [\ frac {-aZ ^ {- 2}} {1 + aZ ^ {- 1}}] $

$ = (aZ ^ {- 1}) / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ = 1-1 / (1 + aZ ^ {- 1}) $

$ nx (n) = \ delta (n) - (- a) ^ nu (n) $

$ \ Flecha derecha x (n) = 1 / n [\ delta (n) - (- a) ^ nu (n)] $

Multiplicación en el tiempo

Da el cambio en el dominio Z de la señal cuando la multiplicación tiene lugar a un nivel de señal discreto.

$ x_1 (n) .x_2 (n) \ longleftrightarrow (\ frac {1} {2 \ Pi j}) [X1 (Z) * X2 (Z)] $

Conjugación en el tiempo

Esto representa la representación de una señal discreta conjugada en el dominio Z.

$ X ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * (Z ^ *) $