DSP - Clasificación de señales CT
Las señales de tiempo continuo se pueden clasificar de acuerdo con diferentes condiciones u operaciones realizadas en las señales.
Señales pares e impares
Incluso señal
Se dice que una señal es incluso si satisface la siguiente condición;
$$ x (-t) = x (t) $$La inversión temporal de la señal no implica ningún cambio en la amplitud aquí. Por ejemplo, considere la onda triangular que se muestra a continuación.
La señal triangular es una señal uniforme. Dado que es simétrico con respecto al eje Y. Podemos decir que es una imagen especular sobre el eje Y.
Considere otra señal como se muestra en la figura siguiente.
Podemos ver que la señal anterior es uniforme, ya que es simétrica con respecto al eje Y.
Señal extraña
Se dice que una señal es impar si cumple la siguiente condición
$$ x (-t) = -x (t) $$Aquí, tanto la inversión del tiempo como el cambio de amplitud tienen lugar simultáneamente.
En la figura anterior, podemos ver una señal de paso x (t). Para probar si es una señal impar o no, primero hacemos la inversión de tiempo, es decir, x (-t) y el resultado es como se muestra en la figura. Luego invertimos la amplitud de la señal resultante, es decir, –x (-t) y obtenemos el resultado como se muestra en la figura.
Si comparamos la primera y la tercera forma de onda, podemos ver que son iguales, es decir, x (t) = -x (-t), lo que satisface nuestros criterios. Por lo tanto, la señal anterior es una señal impar.
A continuación se muestran algunos resultados importantes relacionados con señales pares e impares.
- Par × Par = Par
- Impar × Impar = Par
- Par × Impar = Impar
- Incluso ± Incluso = Incluso
- Impar ± Impar = Impar
- Even ± Odd = Ni par ni impar
Representación de cualquier señal en forma par o impar
Algunas señales no se pueden clasificar directamente en tipos pares o impares. Estos se representan como una combinación de señales pares e impares.
$$ x (t) \ flecha derecha x_ {e} (t) + x_ {0} (t) $$Donde x e (t) representa la señal par y x o (t) representa la señal impar
$$ x_ {e} (t) = \ frac {[x (t) + x (-t)]} {2} $$Y
$$ x_ {0} (t) = \ frac {[x (t) -x (-t)]} {2} $$Ejemplo
Encuentre las partes pares e impares de la señal $ x (n) = t + t ^ {2} + t ^ {3} $
Solution - De invertir x (n), obtenemos
$$ x (-n) = -t + t ^ {2} -t ^ {3} $$
Ahora, según la fórmula, la parte par
$$ x_ {e} (t) = \ frac {x (t) + x (-t)} {2} $$
$$ = \ frac {[(t + t ^ {2} + t ^ {3}) + (- t + t ^ {2} -t ^ {3})]} {2} $$
$$ = t ^ {2} $$
Del mismo modo, de acuerdo con la fórmula, la parte impar es
$$ x_ {0} (t) = \ frac {[x (t) -x (-t)]} {2} $$
$$ = \ frac {[(t + t ^ {2} + t ^ {3}) - (- t + t ^ {2} -t ^ {3})]} {2} $$
$$ = t + t ^ {3} $$
Señales periódicas y no periódicas
Señales periódicas
La señal periódica se repite después de cierto intervalo de tiempo. Podemos mostrar esto en forma de ecuación como:
$$ x (t) = x (t) \ pm nT $$Donde, n = un número entero (1,2,3 ……)
T = Período de tiempo fundamental (FTP) ≠ 0 y ≠ ∞
El período de tiempo fundamental (FTP) es el valor de tiempo positivo y fijo más pequeño para el que la señal es periódica.
En la figura anterior se muestra una señal triangular de amplitud A. Aquí, la señal se repite cada 1 segundo. Por tanto, podemos decir que la señal es periódica y su FTP es de 1 seg.
Señal no periódica
Simplemente, podemos decir, las señales, que no son periódicas, son de naturaleza no periódica. Como es obvio, estas señales no se repetirán después de ningún intervalo de tiempo.
Las señales no periódicas no siguen un formato determinado; por lo tanto, ninguna ecuación matemática en particular puede describirlos.
Señales de energía y potencia
Se dice que una señal es una señal de energía, si y solo si, la energía total contenida es finita y distinta de cero (0 <E <∞). Por lo tanto, para cualquier señal de tipo de energía, la señal normalizada total es finita y no cero.
Una señal de corriente alterna sinusoidal es un ejemplo perfecto de señal de tipo Energía porque está en medio ciclo positivo en un caso y luego es negativo en el siguiente medio ciclo. Por tanto, su potencia media se vuelve cero.
Un capacitor sin pérdidas también es un ejemplo perfecto de señal de tipo Energía porque cuando está conectado a una fuente se carga hasta su nivel óptimo y cuando se quita la fuente, disipa esa cantidad igual de energía a través de una carga y hace que su potencia promedio sea cero.
Para cualquier señal finita x (t), la energía se puede simbolizar como E y se escribe como;
$$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x ^ {2} (t) dt $$La densidad espectral de las señales de tipo de energía da la cantidad de energía distribuida en varios niveles de frecuencia.
Señales de tipo de potencia
Se dice que una señal es de tipo de potencia, si y sólo si, la potencia media normalizada es finita y distinta de cero, es decir (0 <p <∞). Para la señal de tipo de potencia, la potencia media normalizada es finita y distinta de cero. Casi todas las señales periódicas son señales de potencia y su potencia media es finita y distinta de cero.
En forma matemática, la potencia de una señal x (t) se puede escribir como;
$$ P = \ lim_ {T \ rightarrow \ infty} 1 / T \ int _ {- T / 2} ^ {+ T / 2} x ^ {2} (t) dt $$Diferencia entre señales de energía y potencia
La siguiente tabla resume las diferencias de energía y señales de potencia.
| Señal de potencia | Señal de energía |
|---|---|
| Las señales periódicas prácticas son señales de potencia. | Las señales no periódicas son señales de energía. |
| Aquí, la potencia promedio normalizada es finita y distinta de cero. | Aquí, la energía total normalizada es finita y distinta de cero. |
| Matemáticamente, $$ P = \ lim_ {T \ rightarrow \ infty} 1 / T \ int _ {- T / 2} ^ {+ T / 2} x ^ {2} (t) dt $$ |
Matemáticamente, $$ E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x ^ {2} (t) dt $$ |
| La existencia de estas señales es infinita en el tiempo. | Estas señales existen durante un período de tiempo limitado. |
| La energía de la señal de potencia es infinita durante un tiempo infinito. | La potencia de la señal de energía es cero durante un tiempo infinito. |
Ejemplos resueltos
Example 1 - Encuentra la potencia de una señal $ z (t) = 2 \ cos (3 \ Pi t + 30 ^ {o}) + 4 \ sin (3 \ Pi + 30 ^ {o}) $
Solution- Las dos señales anteriores son ortogonales entre sí porque sus términos de frecuencia son idénticos entre sí y también tienen la misma diferencia de fase. Entonces, el poder total será la suma de los poderes individuales.
Sea $ z (t) = x (t) + y (t) $
Donde $ x (t) = 2 \ cos (3 \ Pi t + 30 ^ {o}) $ y $ y (t) = 4 \ sin (3 \ Pi + 30 ^ {o}) $
Potencia de $ x (t) = \ frac {2 ^ {2}} {2} = 2 $
Potencia de $ y (t) = \ frac {4 ^ {2}} {2} = 8 $
Por lo tanto, $ P (z) = p (x) + p (y) = 2 + 8 = 10 $ … Resp.
Example 2 - ¿Probar si la señal dada $ x (t) = t ^ {2} + j \ sin t $ es conjugada o no?
Solution- Aquí, la parte real que es t 2 es par y la parte impar (imaginaria) que es $ \ sin t $ es impar. Entonces la señal anterior es señal conjugada.
Example 3 - Verifique si $ X (t) = \ sin \ omega t $ es una señal impar o una señal par.
Solution - Dado $ X (t) = \ sin \ omega t $
Al invertir el tiempo, obtendremos $ \ sin (- \ omega t) $
Pero sabemos que $ \ sin (- \ phi) = - \ sin \ phi $.
Por lo tanto,
$$ \ sin (- \ omega t) = - \ sin \ omega t $$Esto satisface la condición para que una señal sea impar. Por lo tanto, $ \ sin \ omega t $ es una señal extraña.