DSP - Operaciones en convolución de señales

La convolución de dos señales en el dominio del tiempo es equivalente a la multiplicación de su representación en el dominio de la frecuencia. Matemáticamente, podemos escribir la convolución de dos señales como

$$ y (t) = x_ {1} (t) * x_ {2} (t) $$ $$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x_ {1} (p) .x_ {2 } (tp) dp $$

Pasos para la convolución

• Tome la señal x ₁ (t) y ponga t = p allí para que sea x ₁ (p).
• Tome la señal x ₂ (t) y realice el paso 1 y hágalo x ₂ (p).
• Realice el plegado de la señal, es decir, x ₂ (-p).
• Hacer el cambio de tiempo de la señal anterior x ₂ [- (pt)]
• Luego haz la multiplicación de ambas señales. es decir, $ x_ {1} (p) .x_ {2} [- (p − t)] $

Ejemplo

Hagamos la convolución de una señal escalonada u (t) con su propia clase.

$ y (t) = u (t) * u (t) $

$ = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [u (p) .u [- (pt)] dp $

Ahora bien, esta t puede ser mayor o menor que cero, que se muestran en las siguientes figuras

Entonces, con el caso anterior, el resultado surge con las siguientes posibilidades

$ y (t) = \ begin {cases} 0, & if \ quad t <0 \\\ int_ {0} ^ {t} 1dt, & for \ quad t> 0 \ end {cases} $

$ = \ begin {cases} 0, & if \ quad t <0 \\ t, & t> 0 \ end {cases} = r (t) $

Propiedades de la convolución

Conmutativo

Afirma que el orden de convolución no importa, lo que se puede mostrar matemáticamente como

$$ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = x_ {2} (t) * x_ {1} (t) $$

De asociación

Establece que el orden de convolución que involucra tres señales puede ser cualquier cosa. Matemáticamente, se puede mostrar como;

$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) * x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t)] * x_ {3} (t) $$

Distributivo

Primero se pueden agregar dos señales y luego se puede hacer su convolución a la tercera señal. Esto es equivalente a la convolución de dos señales individualmente con la tercera señal y finalmente agregadas. Matemáticamente, esto se puede escribir como;

$$ x_ {1} (t) * [x_ {2} (t) + x_ {3} (t)] = [x_ {1} (t) * x_ {2} (t) + x_ {1} ( t) * x_ {3} (t)] $$

Zona

Si una señal es el resultado de la convolución de dos señales, entonces el área de la señal es la multiplicación de esas señales individuales. Matemáticamente esto se puede escribir

Si $ y (t) = x_ {1} * x_ {2} (t) $

Entonces, Área de y (t) = Área de x ₁ (t) X Área de x ₂ (t)

Escalada

Si dos señales se escalan a alguna constante desconocida "a" y se realiza la convolución, la señal resultante también se convolucionará a la misma constante "a" y se dividirá por esa cantidad como se muestra a continuación.

Si, $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $

Entonces, $ x_ {1} (en) * x_ {2} (en) = \ frac {y (en)} {a}, a \ ne 0 $

Retrasar

Suponga que una señal y (t) es el resultado de la convolución de dos señales x1 (t) y x2 (t). Si las dos señales se retrasan en el tiempo t1 y t2 respectivamente, la señal resultante y (t) se retrasará en (t1 + t2). Matemáticamente, se puede escribir como:

Si, $ x_ {1} (t) * x_ {2} (t) = y (t) $

Entonces, $ x_ {1} (t-t_ {1}) * x_ {2} (t-t_ {2}) = y [t- (t_ {1} + t_ {2})] $

Ejemplos resueltos

Example 1 - Encuentre la convolución de las señales u (t-1) yu (t-2).

Solution- Las señales dadas son u (t-1) yu (t-2). Su convolución se puede hacer como se muestra a continuación:

$ y (t) = u (t-1) * u (t-2) $

$ y (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} [u (t-1) .u (t-2)] dt $

$ = r (t-1) + r (t-2) $

$ = r (t-3) $

Example 2 - Encuentra la convolución de dos señales dadas por

$x_{1}(n) = \lbrace 3,-2, 2\rbrace $

$ x_ {2} (n) = \ begin {cases} 2, & 0 \ leq n \ leq 4 \\ 0, & x> en otro lugar \ end {cases} $

Solution -

x ₂ (n) se puede decodificar como $ x_ {2} (n) = \ lbrace 2,2,2,2,2 \ rbrace Originalfirst $

x ₁ (n) se ha dado previamente $ = \ lbrace 3, -2,3 \ rbrace = 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} $

Del mismo modo, $ x_ {2} (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {- 4} $

Señal resultante,

$ X (Z) = X_ {1} (Z) X_ {2} (z) $

$ = \ lbrace 3-2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} \ rbrace \ times \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 2} + 2Z ^ {- 3} + 2Z ^ {-4} \ rbrace $

$ = 6 + 2Z ^ {- 1} + 6Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 6Z ^ {- 4} + 6Z ^ {- 5} $

Tomando la transformación Z inversa de lo anterior, obtendremos la señal resultante como

$ x (n) = \ lbrace 6,2,6,6,6,0,4 \ rbrace $ Origen en la primera

Example 3 - Determine la convolución de las siguientes 2 señales -

$x(n) = \lbrace 2,1,0,1\rbrace$

$h(n) = \lbrace 1,2,3,1\rbrace$

Solution -

Tomando la transformación Z de las señales, obtenemos,

$ x (z) = 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} $

Y $ h (n) = 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} $

Ahora, la convolución de dos señales significa la multiplicación de sus transformaciones Z

Eso es $ Y (Z) = X (Z) \ times h (Z) $

$ = \ lbrace 2 + 2Z ^ {- 1} + 2Z ^ {- 3} \ rbrace \ times \ lbrace 1 + 2Z ^ {- 1} + 3Z ^ {- 2} + Z ^ {- 3} \ rbrace $

$ = \ lbrace 2 + 5Z ^ {- 1} + 8Z ^ {- 2} + 6Z ^ {- 3} + 3Z ^ {- 4} + 3Z ^ {- 5} + Z ^ {- 6} \ rbrace $

Tomando la transformación Z inversa, la señal resultante se puede escribir como;

$ y (n) = \ lbrace 2,5,8,6,6,1 \ rbrace Originalfirst $