DSP - Introducción a la transformación Z
La Transformada de Fourier de Tiempo Discreto (DTFT) existe para señales de energía y potencia. La transformación Z tampoco existe para señales de tipo energía ni potencia (NENP), hasta cierto punto solo. El reemplazo $ z = e ^ {jw} $ se usa para la conversión de transformada Z a DTFT solo para señales absolutamente sumables.
Entonces, la transformada Z de la señal de tiempo discreta x (n) en una serie de potencias se puede escribir como:
$$ X (z) = \ sum_ {n- \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $$La ecuación anterior representa una ecuación de transformada Z de dos lados.
Generalmente, cuando una señal se transforma en Z, se puede representar como:
$$ X (Z) = Z [x (n)] $$O $ x (n) \ longleftrightarrow X (Z) $
Si es una señal de tiempo continua, entonces las transformadas Z no son necesarias porque se utilizan transformaciones de Laplace. Sin embargo, las señales de tiempo discreto solo se pueden analizar mediante transformaciones Z.
Región de convergencia
La región de convergencia es el rango de la variable compleja Z en el plano Z. La transformación Z de la señal es finita o convergente. Entonces, ROC representa el conjunto de valores de Z, para los cuales X (Z) tiene un valor finito.
Propiedades de ROC
- ROC no incluye ningún poste.
- Para la señal del lado derecho, ROC estará fuera del círculo en el plano Z.
- Para la señal del lado izquierdo, ROC estará dentro del círculo en el plano Z.
- Para la estabilidad, ROC incluye círculo unitario en el plano Z.
- Para la señal de ambos lados, ROC es un anillo en el plano Z.
- Para la señal de duración finita, ROC es el plano Z completo.
La transformación Z se caracteriza únicamente por:
- Expresión de X (Z)
- ROC de X (Z)
Señales y su ROC
| x (n) | X (Z) | República de China |
|---|---|---|
| $ \ delta (n) $ | $ 1 $ | Plano Z completo |
| $ U (n) $ | $ 1 / (1-Z ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ a ^ nu (n) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ 1 / (1-aZ ^ {- 1}) $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ na ^ nu (n) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z)> Mod (a) |
| $ -a ^ nu (-n-1) $ | $ aZ ^ {- 1} / (1-aZ ^ {- 1}) ^ 2 $ | Mod (Z) <Mod (a) |
| $ U (n) \ cos \ omega n $ | $ (Z ^ 2-Z \ cos \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
| $ U (n) \ sin \ omega n $ | $ (Z \ sin \ omega) / (Z ^ 2-2Z \ cos \ omega +1) $ | Mod (Z)> 1 |
Ejemplo
Encontremos la transformada Z y la ROC de una señal dada como $ x (n) = \ lbrace 7,3,4,9,5 \ rbrace $, donde el origen de la serie está en 3.
Solution - Aplicando la fórmula que tenemos -
$ X (z) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) Z ^ {- n} $
$ = \ sum_ {n = -1} ^ 3 x (n) Z ^ {- n} $
$ = x (-1) Z + x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + x (3) Z ^ {- 3} $
$ = 7Z + 3 + 4Z ^ {- 1} + 9Z ^ {- 2} + 5Z ^ {- 3} $
ROC es el plano Z completo excluyendo Z = 0, ∞, -∞