Procesamiento de señales digitales - Introducción a DFT

Al igual que la transformada de Fourier de la señal de tiempo continuo, la transformada de Fourier de tiempo discreto se puede utilizar para representar una secuencia discreta en su representación de dominio de frecuencia equivalente y un sistema de tiempo discreto LTI y desarrollar varios algoritmos computacionales.

X (jω) en FT continua, es una función continua de x (n). Sin embargo, DFT se ocupa de representar x (n) con muestras de su espectro X (ω). Por lo tanto, esta herramienta matemática tiene mucha importancia computacional en una representación conveniente. Con esta herramienta se pueden procesar tanto secuencias periódicas como no periódicas. Las secuencias periódicas deben muestrearse extendiendo el período hasta el infinito.

Muestreo de dominio de frecuencia

De la introducción, está claro que necesitamos saber cómo proceder a través del muestreo en el dominio de la frecuencia, es decir, el muestreo X (ω). Por tanto, la relación entre la transformada de Fourier muestreada y la DFT se establece de la siguiente manera.

De manera similar, las secuencias periódicas pueden adaptarse a esta herramienta al extender el período N hasta el infinito.

Sea una secuencia no periódica, $ X (n) = \ lim_ {N \ to \ infty} x_N (n) $

Definiendo su transformada de Fourier,

$ X (\ omega) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K \ delta \ omega) $ ... eq (1)

Aquí, X (ω) se muestrea periódicamente, en cada intervalo de δω radianes.

Como X (ω) es periódico en 2π radianes, requerimos muestras solo en el rango fundamental. Las muestras se toman después de intervalos equidistantes en el rango de frecuencia 0≤ω≤2π. El espaciado entre intervalos equivalentes es $ \ delta \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $ radianes.

Ahora evaluando, $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N}, $ ... eq ( 2)

donde k = 0,1, …… N-1

Después de subdividir lo anterior e intercambiar el orden de suma

$ X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} [\ Displaystyle \ sum \ limits_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl)] e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ ... eq (3)

$ \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) = x_p (n) = a \ quad periodic \ quad función \ quad de \ quad período \ quad N \ quad y \ quad su \ quad fourier \ quad series \ quad = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $

donde, n = 0,1,… .., N-1; 'p' - significa entidad o función periódica

Los coeficientes de Fourier son,

$ C_k = \ frac {1} {N} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 \ pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1 ... eq (4)

Comparando las ecuaciones 3 y 4, obtenemos;

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1 ... eq (5)

$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {jw}) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x_p (n) e ^ { -j2 \ pi nk / N} $ ... eq (6)

De la expansión de la serie Fourier,

$ x_p (n) = \ frac {1} {N} \ Displaystyle \ sum \ limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (\ frac {2 \ pi} {N} k) e ^ {j2 \ pi nk / N} $ ... eq (7)

Donde n = 0,1,…, N-1

Aquí, obtuvimos la señal periódica de X (ω). $ x (n) $ solo se puede extraer de $ x_p (n) $, si no hay alias en el dominio del tiempo. $ N \ geq L $

N = período de $ x_p (n) $ L = período de $ x (n) $

$ x (n) = \ begin {cases} x_p (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0, & De lo contrario \ end {cases} $

El mapeo se logra de esta manera.

Propiedades de DFT

Linealidad

Establece que la DFT de una combinación de señales es igual a la suma de DFT de señales individuales. Tomemos dos señales x ₁ (n) y x ₂ (n), cuyas DFT son X ₁ (ω) y X ₂ (ω) respectivamente. Así que si

$ x_1 (n) \ rightarrow X_1 (\ omega) $ y $ x_2 (n) \ rightarrow X_2 (\ omega) $

Entonces $ ax_1 (n) + bx_2 (n) \ rightarrow aX_1 (\ omega) + bX_2 (\ omega) $

dónde a y b son constantes.

Simetría

Las propiedades de simetría de DFT se pueden derivar de una manera similar a como obtuvimos las propiedades de simetría de DTFT. Sabemos que DFT de secuencia x (n) se denota por X (K). Ahora, si x (n) y X (K) son una secuencia de valores complejos, entonces se puede representar como en

$ x (n) = x_R (n) + jx_1 (n), 0 \ leq n \ leq N-1 $

Y $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 \ leq K \ leq N-1 $

Propiedad de dualidad

Consideremos una señal x (n), cuya DFT se expresa como X (K). Sea X (N) la secuencia de duración finita. Entonces, de acuerdo con el teorema de dualidad,

Si, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Entonces, $ X (N) \ longleftrightarrow Nx [((- k)) _ N] $

Entonces, al usar este teorema si conocemos la DFT, podemos encontrar fácilmente la secuencia de duración finita.

Propiedades conjugadas complejas

Supongamos que hay una señal x (n), cuya DFT también la conocemos como X (K). Ahora, si el conjugado complejo de la señal se da como x * (n), entonces podemos encontrar fácilmente la DFT sin hacer mucho cálculo usando el teorema que se muestra a continuación.

Si, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Entonces, $ x * (n) \ longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $

Cambio de frecuencia circular

La multiplicación de la secuencia x (n) con la secuencia exponencial compleja $ e ^ {j2 \ Pi kn / N} $ es equivalente al desplazamiento circular de la DFT por L unidades de frecuencia. Esta es la propiedad dual de la circular en el tiempo.

Si, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) $

Entonces, $ x (n) e ^ {j2 \ Pi Kn / N} \ longleftrightarrow X ((KL)) _ N $

Multiplicación de dos secuencias

Si hay dos señales x ₁ (n) y x ₂ (n) y sus respectivas DFT son X ₁ (k) y X ₂ (K), entonces la multiplicación de señales en la secuencia de tiempo corresponde a la convolución circular de sus DFT.

Si, $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) \ quad \ & \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (K) $

Entonces, $ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (K) © X_2 (K) $

Teorema de Parseval

Para secuencias de valores complejos x (n) y y (n), en general

Si, $ x (n) \ longleftrightarrow X (K) \ quad \ & \ quad y (n) \ longleftrightarrow Y (K) $

Entonces, $ \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( K) Y ^ * (K) $