DSP - Transformación de frecuencia de tiempo DFT

Sabemos que cuando $ \ omega = 2 \ pi K / N $ y $ N \ rightarrow \ infty, \ omega $ se convierte en una variable continua y la suma de límites se convierte en $ - \ infty $ a $ + \ infty $.

Por lo tanto,

$$ NC_k = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = X (e ^ {j \ omega}) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {\ frac {-j2 \ pi nk} {N}} = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $$

Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT)

Sabemos que $ X (e ^ {j \ omega}) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty x (n) e ^ {- j \ omega n} $

Donde, $ X (e ^ {j \ omega}) $ es continuo y periódico en ω y con período 2π. … Eq (1)

Ahora,

$ x_p (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} $ … De la serie de Fourier

$ x_p (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 \ pi nk / N} \ times \ frac {2 \ pi} {N PS

ω se vuelve continuo y $ \ frac {2 \ pi} {N} \ rightarrow d \ omega $, debido a las razones citadas anteriormente.

$ x (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int_ {n = 0} ^ {2 \ pi} X (e ^ {j \ omega}) e ^ {j \ omega n} d \ omega $ … Eq (2)

Transformada de Fourier de tiempo discreto inverso

Simbólicamente,

$ x (n) \ Longleftrightarrow x (e ^ {j \ omega}) $ (El par de transformadas de Fourier)

Condición necesaria y suficiente para la existencia de la transformada de Fourier de tiempo discreto para una secuencia no periódica x (n) es sumable absoluta.

es decir, $ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty | x (n) | <\ infty $

Propiedades de DTFT

  • Linearity: $ a_1x_1 (n) + a_2x_2 (n) \ Flecha izquierda a_1X_1 (e ^ {j \ omega}) + a_2X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Time shifting- $ x (nk) \ Flecha izquierda e ^ {- j \ omega k} .X (e ^ {j \ omega}) $

  • Time Reversal- $ x (-n) \ Flecha izquierda X (e ^ {- j \ omega}) $

  • Frequency shifting- $ e ^ {j \ omega _0n} x (n) \ Flecha izquierda X (e ^ {j (\ omega - \ omega _0)}) $

  • Differentiation frequency domain- $ nx (n) = j \ frac {d} {d \ omega} X (e ^ {j \ omega}) $

  • Convolution- $ x_1 (n) * x_2 (n) \ Flecha izquierda X_1 (e ^ {j \ omega}) \ veces X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Multiplication- $ x_1 (n) \ times x_2 (n) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) * X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Co-relation- $ y_ {x_1 \ times x_2} (l) \ Leftrightarrow X_1 (e ^ {j \ omega}) \ times X_2 (e ^ {j \ omega}) $

  • Modulation theorem- $ x (n) \ cos \ omega _0n = \ frac {1} {2} [X_1 (e ^ {j (\ omega + \ omega _0}) * X_2 (e ^ {jw}) $

  • Symmetry- $ x ^ * (n) \ Flecha izquierda X ^ * (e ^ {- j \ omega}) $;

    $ x ^ * (- n) \ Flecha izquierda X ^ * (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Real [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {even} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ Imag [x (n)] \ Leftrightarrow X_ {impar} (e ^ {j \ omega}) $;

    $ x_ {par} (n) \ Leftrightarrow Real [x (e ^ {j \ omega})] $;

    $ x_ {impar} (n) \ Leftrightarrow Imag [x (e ^ {j \ omega})] $;

  • Parseval’s theorem- $ \ sum _ {- \ infty} ^ \ infty | x_1 (n) | ^ 2 = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} | X_1 (e ^ {j \ omega}) | ^ 2d \ omega $

Anteriormente, estudiamos el muestreo en el dominio de la frecuencia. Con ese conocimiento básico, muestreamos $ X (e ^ {j \ omega}) $ en el dominio de frecuencia, de modo que se pueda realizar un análisis digital conveniente a partir de esos datos muestreados. Por tanto, la DFT se muestrea tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia. Con el supuesto $ x (n) = x_p (n) $

Por lo tanto, la DFT está dada por:

$ X (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) e ^ {- \ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, k = 0,1,…., N − 1 … eq (3)

Y IDFT viene dado por -

$ X (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) e ^ {\ frac {j2 \ pi nk} {N}} $, n = 0,1,…., N − 1 … eq (4)

$ \ por lo tanto x (n) \ Leftrightarrow X (k) $

Factor Twiddle

Se denota como $ W_N $ y se define como $ W_N = e ^ {- j2 \ pi / N} $. Su magnitud se mantiene siempre en la unidad. Fase de $ W_N = -2 \ pi / N $. Es un vector en el círculo unitario y se utiliza por conveniencia computacional. Matemáticamente, se puede mostrar como:

$ W_N ^ r = W_N ^ {r \ pm N} = W_N ^ {r \ pm 2N} = ... $

  • Es función de r y del período N.

    Considere N = 8, r = 0,1,2,3,… .14,15,16,….

    $ \ Longleftrightarrow W_8 ^ 0 = W_8 ^ 8 = W_8 ^ {16} = ... = ... = W_8 ^ {32} = ... = 1 = 1 \ angle 0 $

  • $ W_8 ^ 1 = W_8 ^ 9 = W_8 ^ {17} = ... = ... = W_8 ^ {33} = ... = \ frac {1} {\ sqrt 2} = j \ frac {1} {\ sqrt 2} = 1 \ ángulo- \ frac {\ pi} {4} $

Transformación lineal

Entendamos la Transformación Lineal -

Lo sabemos,

$ DFT (k) = DFT [x (n)] = X (\ frac {2 \ pi} {N} k) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) .W_n ^ { -nk}; \ quad k = 0,1,…., N − 1 $

$ x (n) = IDFT [X (k)] = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (k) .W_N ^ {- nk}; \ quad n = 0,1,…., N − 1 $

Note- El cálculo de DFT se puede realizar con multiplicación compleja N 2 y suma compleja N (N-1).

  • $ x_N = \ begin {bmatrix} x (0) \\ x (1) \\. \\. \\ x (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ señal cuádruple \ quad x_N $

  • $ X_N = \ begin {bmatrix} X (0) \\ X (1) \\. \\. \\ X (N-1) \ end {bmatrix} \ quad N \ quad point \ quad vector \ quad of \ señal cuádruple \ quad X_N $

    • $ \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & ... & ... & 1 \\ 1 & W_N & W_N ^ 2 & ... & ... & W_N ^ {N-1} \\. & W_N ^ 2 & W_N ^ 4 & ... & ... & W_N ^ {2 (N-1)} \\. \\ 1 & W_N ^ {N-1} & W_N ^ {2 (N-1 )} & ... & ... & W_N ^ {(N-1) (N-1)} \ end {bmatrix} $

    N - punto DFT en término de matriz está dado por - $ X_N = W_Nx_N $

    $ W_N \ longmapsto $ Matriz de transformación lineal

    $ Ahora, \ quad x_N = W_N ^ {- 1} X_N $

    IDFT en forma de matriz está dada por

    $$ x_N = \ frac {1} {N} W_N ^ * X_N $$

    Comparando ambas expresiones de $ x_N, \ quad W_N ^ {- 1} = \ frac {1} {N} W_N ^ * $ y $ W_N \ times W_N ^ * = N [I] _ {N \ times N} $

    Por lo tanto, $ W_N $ es una matriz de transformación lineal, una matriz ortogonal (unitaria).

    De la propiedad periódica de $ W_N $ y de su propiedad simétrica, se puede concluir que $ W_N ^ {k + N / 2} = -W_N ^ k $

    Simetría circular

    La DFT de N puntos de duración finita x (n) de longitud N≤L, es equivalente a la DFT de N puntos de la extensión periódica de x (n), es decir, $ x_p (n) $ del período N. y $ x_p ( n) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (n-Nl) $. Ahora, si desplazamos la secuencia, que es una secuencia periódica en k unidades hacia la derecha, se obtiene otra secuencia periódica. Esto se conoce como desplazamiento circular y viene dado por,

    $$ x_p ^ \ prime (n) = x_p (nk) = \ sum_ {l = - \ infty} ^ \ infty x (nk-Nl) $$

    La nueva secuencia finita se puede representar como

    $$ x_p ^ \ prime (n) = \ begin {cases} x_p ^ \ prime (n), & 0 \ leq n \ leq N-1 \\ 0 & De lo contrario \ end {cases} $$

    Example - Sea x (n) = {1,2,4,3}, N = 4,

    $ x_p ^ \ prime (n) = x (nk, módulo \ quad N) \ equiv x ((nk)) _ N \ quad; ex-if \ quad k = 2i.e \ quad 2 \ quad unit \ quad right \ quad shift \ quad y \ quad N = 4, $

    Se asume que la dirección en el sentido de las agujas del reloj es una dirección positiva.

    Tenemos $ x \ prime (n) = x ((n-2)) _ 4 $

    $ x \ prime (0) = x ((- 2)) _ 4 = x (2) = 4 $

    $ x \ prime (1) = x ((- 1)) _ 4 = x (3) = 3 $

    $ x \ prime (2) = x ((- 2)) _ 4 = x (0) = 1 $

    $ x \ prime (3) = x ((1)) _ 4 = x (1) = 2 $

    Conclusion - El desplazamiento circular de la secuencia de N puntos equivale a un desplazamiento lineal de su extensión periódica y viceversa.

    Secuencia circularmente pareja - $ x (Nn) = x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = x_p (-n) = x_p (Nn) $

    Conjugar par - $ x_p (n) = x_p ^ * (Nn) $

    Secuencia circularmente impar - $ x (Nn) = -x (n), \ quad 1 \ leq n \ leq N-1 $

    $ iex_p (n) = -x_p (-n) = -x_p (Nn) $

    Impar conjugado - $ x_p (n) = -x_p ^ * (Nn) $

    Ahora, $ x_p (n) = x_ {pe} + x_ {po} (n) $, donde,

    $ x_ {pe} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) + x_p ^ * (Nn)] $

    $ x_ {po} (n) = \ frac {1} {2} [x_p (n) -x_p ^ * (Nn)] $

    Para cualquier señal real x (n), $ X (k) = X ^ * (Nk) $

    $ X_R (k) = X_R (Nk) $

    $ X_l (k) = -X_l (Nk) $

    $ \ ángulo X (k) = - \ ángulo X (NK) $

    Time reversal- muestra inversa sobre la 0ª muestra. Esto se da como;

    $ x ((- n)) _ N = x (Nn), \ quad 0 \ leq n \ leq N-1 $

    La inversión de tiempo consiste en trazar muestras de secuencia, en sentido horario, es decir, dirección negativa asumida.

    Algunas otras propiedades importantes

    Otras propiedades importantes de IDFT $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $

    • Time reversal - $ x ((- n)) _ N = x (Nn) \ longleftrightarrow X ((- k)) _ N = X (Nk) $

    • Circular time shift - $ x ((nl)) _ N \ longleftrightarrow X (k) e ^ {j2 \ pi lk / N} $

    • Circular frequency shift - $ x (n) e ^ {j2 \ pi ln / N} \ longleftrightarrow X ((kl)) _ N $

    • Complex conjugate properties -

      $ x ^ * (n) \ longleftrightarrow X ^ * ((- k)) _ N = X ^ * (Nk) \ quad y $

      $ x ^ * ((- n)) _ N = x ^ * (Nn) \ longleftrightarrow X ^ * (- k) $

    • Multiplication of two sequence -

      $ x_1 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quad y \ quad x_2 (n) \ longleftrightarrow X_2 (k) $

      $ \ por lo tanto x_1 (n) x_2 (n) \ longleftrightarrow X_1 (k) \ quadⓃ X_2 (k) $

    • Circular convolution - y multiplicación de dos DFT

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) = \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x_1 (n) .x_2 ((mn)) _ n, \ quad m = 0,1,2 ,. ..., N-1 $

      $ x_1 (k) \ quad Ⓝ x_2 (k) \ longleftrightarrow X_1 (k) .X_2 (k) $

    • Circular correlation - Si $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ y $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $, entonces existe una secuencia de correlación cruzada denotada como $ \ bar Y_ {xy} $ tal que $ \ bar Y_ {xy} (l) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * ((nl)) _ N = X (k) .Y ^ * (k) $

    • Parseval’s Theorem - Si $ x (n) \ longleftrightarrow X (k) $ y $ y (n) \ longleftrightarrow Y (k) $;

      $ \ estilo de visualización \ suma \ límites_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \ frac {1} {N} \ estilo de visualización \ suma \ límites_ {n = 0} ^ { N-1} X (k) .Y ^ * (k) $