DSP - Transformada discreta de coseno DFT

DCT (Transformada discreta de coseno) es una secuencia de N entradas x (n), 0≤n≤N-1, como una transformación lineal o combinación de exponenciales complejas. Como resultado, los coeficientes DFT son, en general, complejos incluso si x (n) es real.

Supongamos que intentamos encontrar una transformación ortogonal que tiene una estructura N × N que expresa una secuencia real x (n) como una combinación lineal de secuencia de coseno. Ya lo sabemos

$ X (K) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Y $ x (n) = \ frac {1} {N} \ sum_ {k = 0} ^ {N-1} x (k) cos \ frac {2 \ Pi kn} {N} 0 \ leq k \ leq N-1 $

Esto es posible si la secuencia de N puntos x (n) es real y par. Por lo tanto, $ x (n) = x (Nn), 0 \ leq n \ leq (N-1) $. La DFT resultante en sí misma es real y uniforme. Estas cosas dejan en claro que posiblemente podríamos diseñar una transformada de coseno discreta, para cualquier secuencia real de N puntos tomando la DFT de 2N puntos de una “extensión par” de secuencia.

DCT se utiliza, básicamente, en el procesamiento de imágenes y voz. También se utiliza en la compresión de imágenes y señales de voz.

$ DFT [s (n)] = S (k) = \ sum_ {n = 0} ^ {2N-1} s (n) W_ {2N} ^ {nk}, \ quad donde \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ S (k) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} + \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = N} ^ {2N -1} x (2N-n-1) W_ {2N} ^ {nk}; \ quad donde \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Flecha derecha S (k) = W_ {2N} ^ {- k / 2} + \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) [W_ {2N} ^ {nk} W_ {2N} ^ {k / 2} + W_ {2N} ^ {- nk} W_ {2N} ^ {- k / 2}]; \ quad donde \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

$ \ Flecha derecha S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} { N} (n + \ frac {1} {2}) k]; \ quad donde \ quad 0 \ leq k \ leq 2N-1 $

DCT se define por,

$ V (k) = 2 \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) \ cos [\ frac {\ pi} {2} (n + \ frac {1} {2}) k] \ quad donde \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Flecha derecha V (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} S (k) \ quad o \ quad S (k) = W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2 }} V (k), \ quad donde \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $

$ \ Flecha derecha V (k) = 2R [W_ {2N} ^ {\ frac {k} {2}} \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) W_ {2N} ^ {nk} ], \ quad donde \ quad 0 \ leq k \ leq N-1 $