DSP - Transformada Z inversa

Si queremos analizar un sistema, que ya está representado en el dominio de la frecuencia, como una señal de tiempo discreta, optamos por la transformación Z inversa.

Matemáticamente, se puede representar como;

$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$

donde x (n) es la señal en el dominio del tiempo y X (Z) es la señal en el dominio de la frecuencia.

Si queremos representar la ecuación anterior en formato integral, podemos escribirla como

$$ x (n) = (\ frac {1} {2 \ Pi j}) \ oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$

Aquí, la integral está sobre una ruta cerrada C. Esta ruta está dentro de la ROC de x (z) y contiene el origen.

Métodos para encontrar la transformación Z inversa

Cuando se necesita el análisis en formato discreto, convertimos la señal de dominio de frecuencia de nuevo a formato discreto a través de la transformación Z inversa. Seguimos las siguientes cuatro formas de determinar la transformación Z inversa.

• Método de división larga
• Método de expansión de fracción parcial
• Método integral de residuos o contorno

Método de división larga

En este método, la transformada Z de la señal x (z) se puede representar como la relación del polinomio como se muestra a continuación;

$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$

Ahora, si seguimos dividiendo el numerador por el denominador, obtendremos una serie como se muestra a continuación.

$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $$

La secuencia anterior representa la serie de transformada Z inversa de la señal dada (para n≥0) y el sistema anterior es causal.

Sin embargo, para n <0, la serie se puede escribir como;

$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 + ... \ quad ... \ quad ... $$

Método de expansión de fracción parcial

Aquí también la señal se expresa primero en forma N (z) / D (z).

Si es una fracción racional, se representará de la siguiente manera;

$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... + a_nZ ^ {- N}) $

El anterior es incorrecto cuando m <ny an ≠ 0

Si la razón no es adecuada (es decir, incorrecta), entonces tenemos que convertirla a la forma adecuada para resolverla.

Método integral de residuos o contorno

En este método, obtenemos la transformada Z inversa x (n) sumando residuos de $ [x (z) Z ^ {n-1}] $ en todos los polos. Matemáticamente, esto puede expresarse como

$$ x (n) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {todos \ quad polos \ quad X (z)} residuos \ quad de [x (z) Z ^ {n-1}] $$

Aquí, el residuo para cualquier polo de orden m en $ z = \ beta $ es

$$ Residuos = \ frac {1} {(m-1)!} \ Lim_ {Z \ rightarrow \ beta} \ lbrace \ frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} \ lbrace (z- \ beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} \ rbrace $$