DSP - Existencia de transformación Z

Un sistema, que tiene una función de sistema, solo puede ser estable si todos los polos se encuentran dentro del círculo unitario. Primero, verificamos si el sistema es causal o no. Si el sistema es Causal, entonces buscamos su determinación de estabilidad BIBO; donde la estabilidad BIBO se refiere a la entrada acotada para la condición de salida acotada.

Esto se puede escribir como;

$ Mod (X (Z)) <\ infty $

$ = Mod (\ sum x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod (x (n) Z ^ {- n}) <\ infty $

$ = \ sum Mod [x (n) (re ^ {jw}) ^ {- n}] <0 $

$ = \ sum Mod [x (n) r ^ {- n}] Mod [e ^ {- jwn}] <\ infty $

$ = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod [x (n) r ^ {- n}] <\ infty $

La ecuación anterior muestra la condición de existencia de la transformada Z.

Sin embargo, la condición de existencia de la señal DTFT es

$$ \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty Mod (x (n) <\ infty $$

Ejemplo 1

Intentemos encontrar la transformada Z de la señal, que se da como

$ x (n) = - (- 0.5) ^ {- n} u (-n) + 3 ^ nu (n) $

$ = - (- 2) ^ nu (n) + 3 ^ nu (n) $

Solution - Aquí, para $ - (- 2) ^ nu (n) $, la ROC es del lado izquierdo y Z <2

Para $ 3 ^ nu (n) $ ROC está en el lado derecho y Z> 3

Por tanto, aquí no existirá la transformada Z de la señal porque no hay una región común.

Ejemplo 2

Intentemos encontrar la transformada Z de la señal dada por

$ x (n) = -2 ^ nu (-n-1) + (0.5) ^ nu (n) $

Solution - Aquí, para $ -2 ^ nu (-n-1) $ ROC de la señal es del lado izquierdo y Z <2

Para la señal $ (0.5) ^ nu (n) $ ROC está en el lado derecho y Z> 0.5

Entonces, la ROC común se forma como 0.5 <Z <2

Por lo tanto, la transformación Z se puede escribir como;

$ X (Z) = \ lbrace \ frac {1} {1-2Z ^ {- 1}} \ rbrace + \ lbrace \ frac {1} {(1-0.5Z) ^ {- 1}} \ rbrace $

Ejemplo 3

Intentemos encontrar la transformada Z de la señal, que se da como $ x (n) = 2 ^ {r (n)} $

Solution- r (n) es la señal de rampa. Entonces la señal se puede escribir como;

$ x (n) = 2 ^ {nu (n)} \ lbrace 1, n <0 (u (n) = 0) \ quad y \ quad2 ^ n, n \ geq 0 (u (n) = 1) \ rbrace $

$ = u (-n-1) + 2 ^ nu (n) $

Aquí, para la señal $ u (-n-1) $ y ROC Z <1 y para $ 2 ^ nu (n) $ con ROC es Z> 2.

Entonces, la transformación Z de la señal no existirá.

Transformación Z para sistema causal

El sistema causal se puede definir como $ h (n) = 0, n <0 $. Para el sistema causal, ROC estará fuera del círculo en el plano Z.

$ H (Z) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {\ infty} h (n) Z ^ {- n} $

Ampliando la ecuación anterior,

$ H (Z) = h (0) + h (1) Z ^ {- 1} + h (2) Z ^ {- 2} + ... \ quad ... \ quad ... $

$ = N (Z) / D (Z) $

Para los sistemas causales, la expansión de la función de transferencia no incluye potencias positivas de Z. Para el sistema causal, el orden del numerador no puede exceder el orden del denominador. Esto se puede escribir como-

$ \ lim_ {z \ rightarrow \ infty} H (Z) = h (0) = 0 \ quad o \ quad Finito $

Para la estabilidad del sistema causal, los polos de la función de transferencia deben estar dentro del círculo unitario en el plano Z.

Transformada Z para el sistema anti-causal

El sistema anti-causal se puede definir como $ h (n) = 0, n \ geq 0 $. Para el sistema anti-causal, los polos de la función de transferencia deben estar fuera del círculo unitario en el plano Z. Para el sistema anti-causal, ROC estará dentro del círculo en el plano Z.