DSP - Filtrado lineal DFT

DFT proporciona un enfoque alternativo a la convolución en el dominio del tiempo. Se puede utilizar para realizar un filtrado lineal en el dominio de la frecuencia.

Por lo tanto, $ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) \ longleftrightarrow y (n) $ .

El problema en este enfoque en el dominio de la frecuencia es que $ Y (\ omega) $, $ X (\ omega) $ y $ H (\ omega) $ son funciones continuas de ω, lo que no es fructífero para la computación digital en computadoras. Sin embargo, DFT proporciona una versión muestreada de estas formas de onda para resolver el propósito.

La ventaja es que, teniendo conocimiento de técnicas de DFT más rápidas como FFT, se puede desarrollar un algoritmo computacionalmente más eficiente para la computación digital en comparación con el enfoque en el dominio del tiempo.

Considere una secuencia de duración finita, $ [x (n) = 0, \ quad for, n <0 \ quad y \ quad n \ geq L] $ (ecuación generalizada), excita un filtro lineal con respuesta de impulso $ [h (n ) = 0, \ quad forn <0 \ quad y \ quad n \ geq M] $.

$$ x (n) y (n) $$ $$ salida = y (n) = \ sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k) .x (nk) $$

A partir del análisis de convolución, está claro que la duración de y (n) es L + M − 1.

En el dominio de la frecuencia,

$$ Y (\ omega) = X (\ omega) .H (\ omega) $$

Ahora, $ Y (\ omega) $ es una función continua de ω y se muestrea en un conjunto de frecuencias discretas con un número de muestras distintas que debe ser igual o superior a $ L + M-1 $.

$$ DFT \ quad tamaño = N \ geq L + M-1 $$

Con $ \ omega = \ frac {2 \ pi} {N} k $,

$ Y (\ omega) = X (k) .H (k) $, donde k = 0,1,…., N-1

Donde, X (k) y H (k) son DFT de N puntos de x (n) y h (n) respectivamente. $ x (n) \ & h (n) $ se rellenan con ceros hasta la longitud N. No distorsionará los espectros continuos $ X (\ omega) $ y $ H (\ omega) $. Dado que $ N \ geq L + M-1 $, la DFT de N puntos de la secuencia de salida y (n) es suficiente para representar y (n) en el dominio de la frecuencia y estos hechos infieren que la multiplicación de las DFT de N puntos de X (k ) y H (k), seguido del cálculo de la IDFT de N puntos debe producir y (n).

Esto implica que la convolución circular de N puntos de x (n) y H (n) con relleno de ceros, equivale a la convolución lineal de x (n) y h (n).

Por tanto, DFT se puede utilizar para filtrado lineal.

Caution- N siempre debe ser mayor o igual que $ L + M-1 $. De lo contrario, el efecto de alias corrompería la secuencia de salida.