DSP - Convolución circular DFT

Tomemos dos secuencias de duración finita x ₁ (n) y x ₂ (n), que tengan una longitud entera como N. Sus DFT son X ₁ (K) y X ₂ (K) respectivamente, que se muestra a continuación:

$$ X_1 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_1 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0,1,2 .. .N-1 $$ $$ X_2 (K) = \ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_2 (n) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} \ quad k = 0 , 1,2 ... N-1 $$

Ahora, intentaremos encontrar la DFT de otra secuencia x ₃ (n), que se da como X ₃ (K)

$ X_3 (K) = X_1 (K) \ veces X_2 (K) $

Al tomar la IDFT de lo anterior obtenemos

$ x_3 (n) = \ frac {1} {N} \ Displaystyle \ sum \ limits_ {n = 0} ^ {N-1} X_3 (K) e ^ {\ frac {j2 \ Pi kn} {N}} PS

Después de resolver la ecuación anterior, finalmente, obtenemos

$ x_3 (n) = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {m = 0} ^ {N-1} x_1 (m) x_2 [((nm)) _ N] \ quad m = 0,1,2 ... N- 1 $

Puntos de comparación	Convolución lineal	Convolución circular
Cambiando	Desplazamiento lineal	Desplazamiento circular
Muestras en el resultado de convolución	$ N_1 + N_2−1 $	$ Máx. (N_1, N_2) $
Encontrar la respuesta de un filtro	Posible	Posible con relleno de cero

Métodos de convolución circular

Generalmente, hay dos métodos que se adoptan para realizar la convolución circular y son:

• Método de círculo concéntrico,
• Método de multiplicación de matrices.

Método del círculo concéntrico

Sean $ x_1 (n) $ y $ x_2 (n) $ dos secuencias dadas. Los pasos seguidos para la convolución circular de $ x_1 (n) $ y $ x_2 (n) $ son

• Toma dos círculos concéntricos. Grafique N muestras de $ x_1 (n) $ en la circunferencia del círculo exterior (manteniendo puntos sucesivos a la misma distancia) en sentido antihorario.

• Para graficar $ x_2 (n) $, grafique N muestras de $ x_2 (n) $ en el sentido de las agujas del reloj en el círculo interior, la muestra inicial colocada en el mismo punto que ^la muestra 0 de $ x_1 (n) $

• Multiplique las muestras correspondientes en los dos círculos y agréguelos para obtener el resultado.

• Gire el círculo interior en sentido antihorario con una muestra a la vez.

Método de multiplicación de matrices

El método de matriz representa las dos secuencias dadas $ x_1 (n) $ y $ x_2 (n) $ en forma de matriz.

• Una de las secuencias dadas se repite mediante el desplazamiento circular de una muestra a la vez para formar una matriz NXN.

• La otra secuencia se representa como matriz de columnas.

• La multiplicación de dos matrices da como resultado una convolución circular.