Sistemas de control: análisis de respuesta en el tiempo
Podemos analizar la respuesta de los sistemas de control tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia. Discutiremos el análisis de respuesta en frecuencia de los sistemas de control en capítulos posteriores. Analicemos ahora el análisis de respuesta en el tiempo de los sistemas de control.
¿Qué es Time Response?
Si la salida del sistema de control para una entrada varía con respecto al tiempo, entonces se llama time responsedel sistema de control. La respuesta temporal consta de dos partes.
- Respuesta transitoria
- Respuesta de estado estacionario
La respuesta del sistema de control en el dominio del tiempo se muestra en la siguiente figura.
Aquí, tanto el estado transitorio como el estable se indican en la figura. Las respuestas correspondientes a estos estados se conocen como respuestas transitorias y de estado estacionario.
Matemáticamente, podemos escribir la respuesta de tiempo c (t) como
$$ c (t) = c_ {tr} (t) + c_ {ss} (t) $$
Dónde,
- c tr (t) es la respuesta transitoria
- c ss (t) es la respuesta de estado estable
Respuesta transitoria
Después de aplicar la entrada al sistema de control, la salida tarda cierto tiempo en alcanzar el estado estable. Por lo tanto, la salida estará en estado transitorio hasta que pase a un estado estable. Por lo tanto, la respuesta del sistema de control durante el estado transitorio se conoce comotransient response.
La respuesta transitoria será cero para valores grandes de 't'. Idealmente, este valor de 't' es infinito y prácticamente es cinco veces constante.
Matemáticamente, podemos escribirlo como
$$ \ lim_ {t \ rightarrow \ infty} c_ {tr} (t) = 0 $$
Respuesta de estado estacionario
La parte de la respuesta de tiempo que permanece incluso después de que la respuesta transitoria tiene un valor cero para valores grandes de 't' se conoce como steady state response. Esto significa que la respuesta transitoria será cero incluso durante el estado estable.
Example
Encontremos los términos de estado transitorio y estable de la respuesta en el tiempo del sistema de control $ c (t) = 10 + 5e ^ {- t} $
Aquí, el segundo término $ 5e ^ {- t} $ será cero como tdenota infinito. Entonces, este es eltransient term. Y el primer término 10 permanece incluso comotse acerca al infinito. Entonces, este es elsteady state term.
Señales de prueba estándar
Las señales de prueba estándar son impulso, escalón, rampa y parabólico. Estas señales se utilizan para conocer el rendimiento de los sistemas de control utilizando la respuesta de tiempo de la salida.
Señal de impulso de la unidad
Una señal de impulso unitario, δ (t) se define como
$ \ delta (t) = 0 $ para $ t \ neq 0 $
y $ \ int_ {0 ^ -} ^ {0 ^ +} \ delta (t) dt = 1 $
La siguiente figura muestra la señal de impulso de la unidad.
Entonces, la señal de impulso unitario existe solo en 't' es igual a cero. El área de esta señal en un pequeño intervalo de tiempo alrededor de 't' es igual a cero es uno. El valor de la señal de impulso unitario es cero para todos los demás valores de 't'.
Señal de paso de unidad
Una señal de paso unitario, u (t) se define como
$$ u (t) = 1; t \ geq 0 $$
$ = 0; t <0 $
La siguiente figura muestra la señal de paso unitario.
Entonces, la señal de paso unitario existe para todos los valores positivos de 't', incluido el cero. Y su valor es uno durante este intervalo. El valor de la señal de paso unitario es cero para todos los valores negativos de 't'.
Señal de rampa de unidad
Una señal de rampa unitaria, r (t) se define como
$$ r (t) = t; t \ geq 0 $$
$ = 0; t <0 $
Podemos escribir señal de rampa unitaria, $ r (t) $ en términos de señal de paso unitario, $ u (t) $ como
$$ r (t) = tu (t) $$
La siguiente figura muestra la señal de rampa de la unidad.
Entonces, la señal de rampa unitaria existe para todos los valores positivos de 't' incluido cero. Y su valor aumenta linealmente con respecto a 't' durante este intervalo. El valor de la señal de rampa unitaria es cero para todos los valores negativos de 't'.
Unidad de señal parabólica
Una señal parabólica unitaria, p (t) se define como,
$$ p (t) = \ frac {t ^ 2} {2}; t \ geq 0 $$
$ = 0; t <0 $
Podemos escribir la señal parabólica unitaria, $ p (t) $ en términos de la señal de paso unitario, $ u (t) $ como,
$$ p (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $$
La siguiente figura muestra la señal parabólica de la unidad.
Entonces, la señal parabólica unitaria existe para todos los valores positivos de ‘t’incluyendo cero. Y su valor aumenta de forma no lineal con respecto a 't' durante este intervalo. El valor de la señal parabólica unitaria es cero para todos los valores negativos de 't'.