Sistemas de control - Álgebra de diagrama de bloques
El álgebra de diagrama de bloques no es más que el álgebra involucrada con los elementos básicos del diagrama de bloques. Este álgebra se ocupa de la representación pictórica de ecuaciones algebraicas.
Conexiones básicas para bloques
Hay tres tipos básicos de conexiones entre dos bloques.
Conexión en serie
La conexión en serie también se llama cascade connection. En la siguiente figura, dos bloques que tienen funciones de transferencia $ G_1 (s) $ y $ G_2 (s) $ están conectados en serie.
Para esta combinación, obtendremos la salida $ Y (s) $ como
$$ Y (s) = G_2 (s) Z (s) $$
Donde, $ Z (s) = G_1 (s) X (s) $
$$ \ Flecha derecha Y (s) = G_2 (s) [G_1 (s) X (s)] = G_1 (s) G_2 (s) X (s) $$
$$ \ Rightarrow Y (s) = \ lbrace G_1 (s) G_2 (s) \ rbrace X (s) $$
Compare esta ecuación con la forma estándar de la ecuación de salida, $ Y (s) = G (s) X (s) $. Donde, $ G (s) = G_1 (s) G_2 (s) $.
Eso significa que podemos representar el series connectionde dos bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este único bloque es laproduct of the transfer functionsde esos dos bloques. El diagrama de bloques equivalente se muestra a continuación.
De manera similar, puede representar una conexión en serie de 'n' bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este bloque único es el producto de las funciones de transferencia de todos esos 'n' bloques.
Coneccion paralela
Los bloques que están conectados en parallel tendrá el same input. En la siguiente figura, dos bloques que tienen funciones de transferencia $ G_1 (s) $ y $ G_2 (s) $ están conectados en paralelo. Las salidas de estos dos bloques están conectadas al punto de suma.
Para esta combinación, obtendremos la salida $ Y (s) $ como
$$ Y (s) = Y_1 (s) + Y_2 (s) $$
Donde, $ Y_1 (s) = G_1 (s) X (s) $ y $ Y_2 (s) = G_2 (s) X (s) $
$$ \ Flecha derecha Y (s) = G_1 (s) X (s) + G_2 (s) X (s) = \ lbrace G_1 (s) + G_2 (s) \ rbrace X (s) $$
Compare esta ecuación con la forma estándar de la ecuación de salida, $ Y (s) = G (s) X (s) $.
Donde, $ G (s) = G_1 (s) + G_2 (s) $.
Eso significa que podemos representar el parallel connectionde dos bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este único bloque es lasum of the transfer functionsde esos dos bloques. El diagrama de bloques equivalente se muestra a continuación.
De manera similar, puede representar la conexión en paralelo de 'n' bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este bloque único es la suma algebraica de las funciones de transferencia de todos esos 'n' bloques.
Conexión de retroalimentación
Como comentamos en capítulos anteriores, hay dos tipos de feedback- comentarios positivos y comentarios negativos. La siguiente figura muestra el sistema de control de retroalimentación negativa. Aquí, dos bloques que tienen funciones de transferencia $ G (s) $ y $ H (s) $ forman un ciclo cerrado.
La salida del punto de suma es -
$$ E (s) = X (s) -H (s) Y (s) $$
La salida $ Y (s) $ es -
$$ Y (s) = E (s) G (s) $$
Sustituye el valor de $ E (s) $ en la ecuación anterior.
$$ Y (s) = \ left \ {X (s) -H (s) Y (s) \ rbrace G (s) \ right \} $$
$$ Y (s) \ left \ {1 + G (s) H (s) \ rbrace = X (s) G (s) \ right \} $$
$$ \ Flecha derecha \ frac {Y (s)} {X (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $$
Por lo tanto, la función de transferencia de circuito cerrado de retroalimentación negativa es $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $
Esto significa que podemos representar la conexión de retroalimentación negativa de dos bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este bloque único es la función de transferencia de bucle cerrado de la retroalimentación negativa. El diagrama de bloques equivalente se muestra a continuación.
De manera similar, puede representar la conexión de retroalimentación positiva de dos bloques con un solo bloque. La función de transferencia de este bloque único es la función de transferencia de bucle cerrado de la retroalimentación positiva, es decir, $ \ frac {G (s)} {1-G (s) H (s)} $
Álgebra de diagrama de bloques para sumar puntos
Hay dos posibilidades de cambiar los puntos de suma con respecto a los bloques:
- Cambio de punto de suma después del bloque
- Cambio de punto de suma antes del bloque
Veamos ahora qué tipo de arreglos deben hacerse en los dos casos anteriores uno por uno.
Cambio de punto de suma después del bloque
Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí, el punto de suma está presente antes del bloque.
El punto sumador tiene dos entradas $ R (s) $ y $ X (s) $. La salida es $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $.
Entonces, la entrada al bloque $ G (s) $ es $ \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $ y la salida es -
$$ Y (s) = G (s) \ left \ {R (s) + X (s) \ right \} $$
$ \ Flecha derecha Y (s) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 1)
Ahora, cambie el punto de suma después del bloque. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
La salida del bloque $ G (s) $ es $ G (s) R (s) $.
La salida del punto de suma es
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 2)
Compare la Ecuación 1 y la Ecuación 2.
El primer término $ 'G (s) R (s)' $ es el mismo en ambas ecuaciones. Pero hay una diferencia en el segundo término. Para obtener el segundo término también igual, necesitamos un bloque más $ G (s) $. Tiene la entrada $ X (s) $ y la salida de este bloque se da como entrada al punto de suma en lugar de $ X (s) $. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
Cambio de punto de suma antes del bloque
Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí, el punto de suma está presente después del bloque.
La salida de este diagrama de bloques es:
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Equation 3)
Ahora, cambie el punto de suma antes del bloque. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
La salida de este diagrama de bloques es:
$ Y (S) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Equation 4)
Compare la Ecuación 3 y la Ecuación 4,
El primer término $ 'G (s) R (s)' $ es el mismo en ambas ecuaciones. Pero hay una diferencia en el segundo término. Para obtener el segundo término también igual, necesitamos un bloque más $ \ frac {1} {G (s)} $. Tiene la entrada $ X (s) $ y la salida de este bloque se da como entrada al punto de suma en lugar de $ X (s) $. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
Álgebra de diagrama de bloques para puntos de despegue
Hay dos posibilidades de cambiar los puntos de despegue con respecto a los bloques:
- Cambio del punto de despegue después del bloque
- Desplazamiento del punto de despegue antes del bloque
Veamos ahora qué tipo de arreglos se deben hacer en los dos casos anteriores, uno por uno.
Cambio de punto de despegue después del bloque
Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. En este caso, el punto de despegue está presente antes del bloque.
Aquí, $ X (s) = R (s) $ y $ Y (s) = G (s) R (s) $
Cuando cambia el punto de despegue después del bloque, la salida $ Y (s) $ será la misma. Pero hay una diferencia en el valor de $ X (s) $. Entonces, para obtener el mismo valor de $ X (s) $, necesitamos un bloque más $ \ frac {1} {G (s)} $. Tiene la entrada $ Y (s) $ y la salida es $ X (s) $. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
Cambio del punto de despegue antes del bloque
Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí, el punto de despegue está presente después del bloque.
Aquí, $ X (s) = Y (s) = G (s) R (s) $
Cuando cambia el punto de despegue antes del bloque, la salida $ Y (s) $ será la misma. Pero hay una diferencia en el valor de $ X (s) $. Entonces, para obtener el mismo valor de $ X (s) $, necesitamos un bloque más $ G (s) $. Tiene la entrada $ R (s) $ y la salida es $ X (s) $. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
