Sistemas de control: compensadores

Hay tres tipos de compensadores: compensadores de retraso, adelanto y retraso-adelanto. Estos son los más utilizados.

Compensador de retraso

El Compensador de retraso es una red eléctrica que produce una salida sinusoidal que tiene el retraso de fase cuando se aplica una entrada sinusoidal. El circuito compensador de retraso en el dominio 's' se muestra en la siguiente figura.

Aquí, el capacitor está en serie con la resistencia $ R_2 $ y la salida se mide a través de esta combinación.

La función de transferencia de este compensador de retraso es:

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ derecha) $$

Dónde,

$$ \ tau = R_2C $$

$$ \ alpha = \ frac {R_1 + R_2} {R_2} $$

De la ecuación anterior, $ \ alpha $ siempre es mayor que uno.

De la función de transferencia, podemos concluir que el compensador de retraso tiene un polo en $ s = - \ frac {1} {\ alpha \ tau} $ y un cero en $ s = - \ frac {1} {\ tau} $ . Esto significa que el polo estará más cerca del origen en la configuración polo cero del compensador de retardo.

Sustituya $ s = j \ omega $ en la función de transferencia.

$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {j \ omega + \ frac {1} {\ tau}} { j \ omega + \ frac {1} {\ alpha \ tau}} \ right) $$

Ángulo de fase $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ alpha \ omega \ tau $

Sabemos que la fase de la señal sinusoidal de salida es igual a la suma de los ángulos de fase de la señal sinusoidal de entrada y la función de transferencia.

Entonces, para producir el desfase en la salida de este compensador, el ángulo de fase de la función de transferencia debe ser negativo. Esto sucederá cuando $ \ alpha> 1 $.

Compensador de plomo

El compensador de adelanto es una red eléctrica que produce una salida sinusoidal con adelanto de fase cuando se aplica una entrada sinusoidal. El circuito del compensador de adelanto en el dominio 's' se muestra en la siguiente figura.

Aquí, el capacitor es paralelo al resistor $ R_1 $ y la salida se mide a través del resistor $ R_2.

La función de transferencia de este compensador de plomo es:

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau + 1} {\ beta s \ tau + 1} \ right) $$

Dónde,

$$ \ tau = R_1C $$

$$ \ beta = \ frac {R_2} {R_1 + R_2} $$

A partir de la función de transferencia, podemos concluir que el compensador principal tiene un polo en $ s = - \ frac {1} {\ beta} $ y cero en $ s = - \ frac {1} {\ beta \ tau} $.

Sustituya $ s = j \ omega $ en la función de transferencia.

$$ \ frac {V_o (j \ omega)} {V_i (j \ omega)} = \ beta \ left (\ frac {j \ omega \ tau + 1} {\ beta j \ omega \ tau + 1} \ right ) $$

Ángulo de fase $ \ phi = tan ^ {- 1} \ omega \ tau - tan ^ {- 1} \ beta \ omega \ tau $

Sabemos que la fase de la señal sinusoidal de salida es igual a la suma de los ángulos de fase de la señal sinusoidal de entrada y la función de transferencia.

Entonces, para producir el adelanto de fase en la salida de este compensador, el ángulo de fase de la función de transferencia debe ser positivo. Esto sucederá cuando $ 0 <\ beta <1 $. Por lo tanto, el cero estará más cerca del origen en la configuración polo cero del compensador de adelanto.

Compensador de retraso-adelanto

El compensador Lag-Lead es una red eléctrica que produce un desfase en una región de frecuencia y un adelanto de fase en otra región de frecuencia. Es una combinación de los compensadores de retraso y de adelanto. El circuito compensador de retraso-adelanto en el dominio 's' se muestra en la siguiente figura.

Este circuito parece que ambos compensadores están en cascada. Entonces, la función de transferencia de este circuito será el producto de las funciones de transferencia de los compensadores de adelanto y retraso.

$$ \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ beta \ left (\ frac {s \ tau_1 + 1} {\ beta s \ tau_1 + 1} \ right) \ frac {1} {\ alpha} \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Sabemos que $ \ alpha \ beta = 1 $.

$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_1}} {s + \ frac {1} {\ beta \ tau_1}} \ right) \ left (\ frac {s + \ frac {1} {\ tau_2}} {s + \ frac {1} {\ alpha \ tau_2}} \ right) $$

Dónde,

$$ \ tau_1 = R_1C_1 $$

$$ \ tau_2 = R_2C_2 $$