Respuesta del sistema de segundo orden

En este capítulo, analicemos la respuesta temporal del sistema de segundo orden. Considere el siguiente diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado. Aquí, una función de transferencia de bucle abierto, $ \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ está conectada con una retroalimentación negativa unitaria.

Sabemos que la función de transferencia del sistema de control de circuito cerrado que tiene retroalimentación negativa unitaria como

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$

Sustituye $ G (s) = \ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} $ en la ecuación anterior.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} {1+ \ left (\ frac {\ omega ^ 2_n} {s (s + 2 \ delta \ omega_n)} \ right)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2} $$

La potencia de 's' es dos en el término denominador. Por tanto, la función de transferencia anterior es de segundo orden y se dice que el sistema es elsecond order system.

La ecuación característica es -

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega _ns + \ omega _n ^ 2 = 0 $$

Las raíces de la ecuación característica son:

$$ s = \ frac {-2 \ omega \ delta _n \ pm \ sqrt {(2 \ delta \ omega _n) ^ 2-4 \ omega _n ^ 2}} {2} = \ frac {-2 (\ delta \ omega _n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} {2} $$

$$ \ Flecha derecha s = - \ delta \ omega_n \ pm \ omega _n \ sqrt {\ delta ^ 2-1} $$

• Las dos raíces son imaginarias cuando δ = 0.
• Las dos raíces son reales e iguales cuando δ = 1.
• Las dos raíces son reales pero no iguales cuando δ> 1.
• Las dos raíces son conjugadas complejas cuando 0 <δ <1.

Podemos escribir la ecuación de $ C (s) $ como,

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Dónde,

• C(s) es la transformada de Laplace de la señal de salida, c (t)

• R(s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada, r (t)

• ω_n es la frecuencia natural

• δ es la relación de amortiguación.

Siga estos pasos para obtener la respuesta (salida) del sistema de segundo orden en el dominio del tiempo.

• Tome la transformada de Laplace de la señal de entrada, $ r (t) $.

• Considere la ecuación, $ C (s) = \ left (\ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $

• Sustituya el valor de $ R (s) $ en la ecuación anterior.

• Haga fracciones parciales de $ C (s) $ si es necesario.

• Aplicar la transformada inversa de Laplace a $ C (s) $.

Respuesta escalonada del sistema de segundo orden

Considere la señal de paso unitario como una entrada al sistema de segundo orden.

La transformada de Laplace de la señal de paso unitario es,

$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$

Sabemos que la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden es,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega _n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Caso 1: δ = 0

Sustituya $ \ delta = 0 $ en la función de transferencia.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Flecha derecha C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) R (s) $$

Sustituya $ R (s) = \ frac {1} {s} $ en la ecuación anterior.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + \ omega_n ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s ^ 2 + \ omega_n ^ 2)} $$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$ c (t) = \ left (1- \ cos (\ omega_n t) \ right) u (t) $$

Entonces, la respuesta al escalón unitario del sistema de segundo orden cuando $ / delta = 0 $ será una señal de tiempo continua con amplitud y frecuencia constantes.

Caso 2: δ = 1

Sustituya, $ / delta = 1 $ en la función de transferencia.

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Flecha derecha C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) R (s) $$

Sustituya $ R (s) = \ frac {1} {s} $ en la ecuación anterior.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ omega_n) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} $$

Haz fracciones parciales de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ omega_n) ^ 2} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ omega_n} + \ frac {C } {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Después de simplificar, obtendrá los valores de A, B y C como $ 1, \: -1 \: y \: - \ omega _n $ respectivamente. Sustituya estos valores en la expansión de fracción parcial anterior de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ omega_n} - \ frac {\ omega_n} {(s + \ omega_n) ^ 2} $$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$ c (t) = (1-e ^ {- \ omega_nt} - \ omega _nte ^ {- \ omega_nt}) u (t) $$

Por lo tanto, la respuesta escalonada unitaria del sistema de segundo orden intentará alcanzar la entrada escalonada en estado estable.

Caso 3: 0 <δ <1

Podemos modificar el término denominador de la función de transferencia de la siguiente manera:

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = (s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) $$

La función de transferencia se convierte en,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $ PS

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) R (s ) $$

Sustituya $ R (s) = \ frac {1} {s} $ en la ecuación anterior.

$$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} $ PS

Haz fracciones parciales de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s \ left ((s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) \ right)} = \ frac { A} {s} + \ frac {Bs + C} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

Después de simplificar, obtendrás los valores de A, B y C como $ 1, \: -1 \: y \: −2 \ delta \ omega _n $ respectivamente. Sustituya estos valores en la expansión de fracción parcial anterior de C (s).

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + 2 \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2) } $$

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {s + \ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} - \ frac {\ delta \ omega_n} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_n ^ 2 (1- \ delta ^ 2)} $$

$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} ) ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + (\ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2}) ^ 2} \ right) $

Sustituya $ \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $ como $ \ omega_d $ en la ecuación anterior.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {(s + \ delta \ omega_n)} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left (\ frac {\ omega_d} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 + \ omega_d ^ 2} \ right) $$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ cos (\ omega_dt) - \ frac {\ delta} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} e ^ {- \ delta \ omega_nt} \ sin (\ omega_dt) \ right) u (t) $$

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ left ((\ sqrt {1- \ delta ^ 2 }) \ cos (\ omega_dt) + \ delta \ sin (\ omega_dt) \ right) \ right) u (t) $$

Si $ \ sqrt {1- \ delta ^ 2} = \ sin (\ theta) $, entonces 'δ' será cos (θ). Sustituye estos valores en la ecuación anterior.

$$ c (t) = \ left (1- \ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} (\ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt) + \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt)) \ right) u (t) $$

$$ \ Flecha derecha c (t) = \ left (1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) \ right) u (t) $$

Entonces, la respuesta de escalón unitario del sistema de segundo orden tiene oscilaciones amortiguadas (amplitud decreciente) cuando 'δ' se encuentra entre cero y uno.

Caso 4: δ> 1

Podemos modificar el término denominador de la función de transferencia de la siguiente manera:

$$ s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2 = \ left \ {s ^ 2 + 2 (s) (\ delta \ omega_n) + (\ delta \ omega_n) ^ 2 \ right \} + \ omega_n ^ 2 - (\ delta \ omega_n) ^ 2 $$

$$ = \ left (s + \ delta \ omega_n \ right) ^ 2- \ omega_n ^ 2 \ left (\ delta ^ 2-1 \ right) $$

La función de transferencia se convierte en,

$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} $ PS

$$ \ Rightarrow C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2- \ omega_n ^ 2 (\ delta ^ 2-1)} \ right) R (s ) $$

Sustituya $ R (s) = \ frac {1} {s} $ en la ecuación anterior.

$ C (s) = \ left (\ frac {\ omega_n ^ 2} {(s + \ delta \ omega_n) ^ 2 - (\ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) ^ 2} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $

Haz fracciones parciales de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s (s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $$

$$ = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} + \ frac {C} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} $$

Después de simplificar, obtendrás los valores de A, B y C como 1, $ \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1} )} $ y $ \ frac {-1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} $ respectivamente. Sustituya estos valores en la expansión de fracción parcial anterior de $ C (s) $.

$$ C (s) = \ frac {1} {s} + \ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) \ left (\ frac {1} {s + \ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ derecha) $$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$ c (t) = \ left (1+ \ left (\ frac {1} {2 (\ delta + \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right ) e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} - \ left (\ frac {1} {2 (\ delta- \ sqrt {\ delta ^ 2-1} ) (\ sqrt {\ delta ^ 2-1})} \ right) e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) u (t) $

Dado que está sobre amortiguado, la respuesta escalonada unitaria del sistema de segundo orden cuando δ> 1 nunca alcanzará la entrada escalonada en el estado estable.

Respuesta de impulso del sistema de segundo orden

los impulse response del sistema de segundo orden puede obtenerse utilizando cualquiera de estos dos métodos.

• Siga el procedimiento involucrado mientras deriva la respuesta al paso considerando el valor de $ R (s) $ como 1 en lugar de $ \ frac {1} {s} $.

• Haz la diferenciación de la respuesta escalonada.

La siguiente tabla muestra la respuesta al impulso del sistema de segundo orden para 4 casos de la relación de amortiguación.

Condición de la relación de amortiguación	Respuesta de impulso para t ≥ 0
δ = 0	$ \ omega_n \ sin (\ omega_nt) $
δ = 1	$ \ omega_n ^ 2te ^ {- \ omega_nt} $
0 <δ <1	$ \ left (\ frac {\ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt) $
δ> 1	$ \ left (\ frac {\ omega_n} {2 \ sqrt {\ delta ^ 2-1}} \ right) \ left (e ^ {- (\ delta \ omega_n- \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1 }) t} -e ^ {- (\ delta \ omega_n + \ omega_n \ sqrt {\ delta ^ 2-1}) t} \ right) $