Sistemas de control: errores de estado estable
La desviación de la salida del sistema de control de la respuesta deseada durante el estado estable se conoce como steady state error. Se representa como $ e_ {ss} $. Podemos encontrar el error de estado estable usando el teorema del valor final de la siguiente manera.
$$ e_ {ss} = \ lim_ {t \ to \ infty} e (t) = \ lim_ {s \ to 0} sE (s) $$
Dónde,
E (s) es la transformada de Laplace de la señal de error, $ e (t) $
Analicemos cómo encontrar errores de estado estable para los sistemas de control de retroalimentación unitaria y no unitaria, uno por uno.
Errores de estado estacionario para sistemas de retroalimentación Unity
Considere el siguiente diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado, que tiene retroalimentación negativa unitaria.
Dónde,
- R (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada de referencia $ r (t) $
- C (s) es la transformada de Laplace de la señal de salida $ c (t) $
Conocemos la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de retroalimentación negativa unitaria como
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Flecha derecha C (s) = \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
La salida del punto de suma es -
$$ E (s) = R (s) -C (s) $$
Sustituye el valor de $ C (s) $ en la ecuación anterior.
$$ E (s) = R (s) - \ frac {R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Flecha derecha E (s) = \ frac {R (s) + R (s) G (s) -R (s) G (s)} {1 + G (s)} $$
$$ \ Flecha derecha E (s) = \ frac {R (s)} {1 + G (s)} $$
Sustituya el valor $ E (s) $ en la fórmula de error de estado estable
$$ e_ {ss} = \ lim_ {s \ to 0} \ frac {sR (s)} {1 + G (s)} $$
La siguiente tabla muestra los errores de estado estable y las constantes de error para señales de entrada estándar como paso unitario, rampa unitaria y señales parabólicas unitarias.
| Señal de entrada | Error de estado estable $ e_ {ss} $ | Constante de error |
|---|---|---|
señal de paso unitario |
$ \ frac {1} {1 + k_p} $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) $ |
señal de rampa de unidad |
$ \ frac {1} {K_v} $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) $ |
unidad de señal parabólica |
$ \ frac {1} {K_a} $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) $ |
Donde, $ K_p $, $ K_v $ y $ K_a $ son constante de error de posición, constante de error de velocidad y constante de error de aceleración respectivamente.
Note - Si alguna de las señales de entrada anteriores tiene una amplitud diferente a la unidad, multiplique el error de estado estable correspondiente con esa amplitud.
Note- No podemos definir el error de estado estable para la señal de impulso unitario porque existe solo en el origen. Entonces, no podemos comparar la respuesta al impulso con la entrada de impulso unitario comot denota infinito.
Ejemplo
Encontremos el error de estado estable para una señal de entrada $ r (t) = \ left (5 + 2t + \ frac {t ^ 2} {2} \ right) u (t) $ del sistema de control de retroalimentación negativa unitaria con $ G (s) = \ frac {5 (s + 4)} {s ^ 2 (s + 1) (s + 20)} $
La señal de entrada dada es una combinación de tres señales paso, rampa y parabólica. La siguiente tabla muestra las constantes de error y los valores de error de estado estable para estas tres señales.
| Señal de entrada | Constante de error | Error de estado estable |
|---|---|---|
$ r_1 (t) = 5u (t) $ |
$ K_p = \ lim_ {s \ to 0} G (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss1} = \ frac {5} {1 + k_p} = 0 $ |
$ r_2 (t) = 2tu (t) $ |
$ K_v = \ lim_ {s \ to 0} sG (s) = \ infty $ |
$ e_ {ss2} = \ frac {2} {K_v} = 0 $ |
$ r_3 (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $ |
$ K_a = \ lim_ {s \ to 0} s ^ 2G (s) = 1 $ |
$ e_ {ss3} = \ frac {1} {k_a} = 1 $ |
Obtendremos el error de estado estable general, agregando los tres errores de estado estable anteriores.
$$ e_ {ss} = e_ {ss1} + e_ {ss2} + e_ {ss3} $$
$$ \ Flecha derecha e_ {ss} = 0 + 0 + 1 = 1 $$
Por lo tanto, obtuvimos el error de estado estable $ e_ {ss} $ como 1 para este ejemplo.
Errores de estado estacionario para sistemas de retroalimentación que no son de unidad
Considere el siguiente diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado, que tiene retroalimentación negativa no unitaria.
Podemos encontrar los errores de estado estacionario solo para los sistemas de retroalimentación unitaria. Entonces, tenemos que convertir el sistema de retroalimentación no unitaria en un sistema de retroalimentación unitaria. Para esto, incluya una ruta de retroalimentación positiva unitaria y una ruta de retroalimentación negativa unitaria en el diagrama de bloques anterior. El nuevo diagrama de bloques se ve como se muestra a continuación.
Simplifique el diagrama de bloques anterior manteniendo la retroalimentación negativa unitaria tal como está. El siguiente es el diagrama de bloques simplificado.
Este diagrama de bloques se asemeja al diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado de retroalimentación negativa unitaria. Aquí, el bloque único tiene la función de transferencia $ \ frac {G (s)} {1 + G (s) H (s) -G (s)} $ en lugar de $ G (s) $. Ahora puede calcular los errores de estado estable utilizando la fórmula de error de estado estable dada para los sistemas de retroalimentación negativa unitaria.
Note- No tiene sentido encontrar los errores de estado estacionario para sistemas de circuito cerrado inestables. Entonces, tenemos que calcular los errores de estado estacionario solo para sistemas estables de lazo cerrado. Esto significa que debemos verificar si el sistema de control es estable o no antes de encontrar los errores de estado estable. En el próximo capítulo, discutiremos la estabilidad relacionada con los conceptos.