Sistemas de control: lugar de las raíces
En el diagrama del lugar de las raíces, podemos observar la trayectoria de los polos de bucle cerrado. Por tanto, podemos identificar la naturaleza del sistema de control. En esta técnica, utilizaremos una función de transferencia de bucle abierto para conocer la estabilidad del sistema de control de bucle cerrado.
Conceptos básicos del lugar de las raíces
El lugar de las raíces es el lugar de las raíces de la ecuación característica al variar la ganancia del sistema K de cero a infinito.
Sabemos que la ecuación característica del sistema de control de lazo cerrado es
$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$
Podemos representar $ G (s) H (s) $ como
$$ G (s) H (s) = K \ frac {N (s)} {D (s)} $$
Dónde,
K representa el factor multiplicador
N (s) representa el término numerador que tiene (factorizado) el polinomio de n- ésimo orden de 's'.
D (s) representa el término denominador que tiene (factorizada) m ésimo polinomio de orden de 's'.
Sustituya el valor de $ G (s) H (s) $ en la ecuación característica.
$$ 1 + k \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 $$
$$ \ Flecha derecha D (s) + KN (s) = 0 $$
Case 1 − K = 0
Si $ K = 0 $, entonces $ D (s) = 0 $.
Eso significa que los polos de lazo cerrado son iguales a los polos de lazo abierto cuando K es cero.
Case 2 − K = ∞
Vuelva a escribir la ecuación característica anterior como
$$ K \ left (\ frac {1} {K} + \ frac {N (s)} {D (s)} \ right) = 0 \ Rightarrow \ frac {1} {K} + \ frac {N ( s)} {D (s)} = 0 $$
Sustituya $ K = \ infty $ en la ecuación anterior.
$$ \ frac {1} {\ infty} + \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow \ frac {N (s)} {D (s)} = 0 \ Rightarrow N ( s) = 0 $$
Si $ K = \ infty $, entonces $ N (s) = 0 $. Significa que los polos de lazo cerrado son iguales a los ceros de lazo abierto cuando K es infinito.
De los dos casos anteriores, podemos concluir que las ramas del lugar de las raíces comienzan en los polos de bucle abierto y terminan en ceros de bucle abierto.
Condición de ángulo y condición de magnitud
Los puntos en las ramas del lugar de las raíces satisfacen la condición de ángulo. Entonces, la condición de ángulo se usa para saber si el punto existe en la rama del lugar de las raíces o no. Podemos encontrar el valor de K para los puntos en las ramas del lugar de las raíces usando la condición de magnitud. Entonces, podemos usar la condición de magnitud para los puntos, y esto satisface la condición de ángulo.
La ecuación característica del sistema de control de bucle cerrado es
$$ 1 + G (s) H (s) = 0 $$
$$ \ Flecha derecha G (s) H (s) = - 1 + j0 $$
los phase angle de $ G (s) H (s) $ es
$$ \ ángulo G (s) H (s) = \ tan ^ {- 1} \ left (\ frac {0} {- 1} \ right) = (2n + 1) \ pi $$
los angle conditiones el punto en el que el ángulo de la función de transferencia de bucle abierto es un múltiplo impar de 180 0 .
Magnitud de $ G (s) H (s) $ es -
$$ | G (s) H (s) | = \ sqrt {(-1) ^ 2 + 0 ^ 2} = 1 $$
La condición de magnitud es el punto (que cumplió la condición de ángulo) en el que la magnitud de la función de transferencia de bucle abierto es uno.