Sistemas de control: análisis de estabilidad

En este capítulo, analicemos el análisis de estabilidad en el ‘s’dominio utilizando el criterio de estabilidad de RouthHurwitz. En este criterio, requerimos la ecuación característica para encontrar la estabilidad de los sistemas de control de lazo cerrado.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz es tener una condición necesaria y una condición suficiente para la estabilidad. Si algún sistema de control no satisface la condición necesaria, entonces podemos decir que el sistema de control es inestable. Pero, si el sistema de control satisface la condición necesaria, entonces puede ser estable o no. Entonces, la condición suficiente es útil para saber si el sistema de control es estable o no.

Condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz

La condición necesaria es que los coeficientes del polinomio característico sean positivos. Esto implica que todas las raíces de la ecuación característica deben tener partes reales negativas.

Considere la ecuación característica del orden 'n' es -

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$

Tenga en cuenta que no debe faltar ningún término en el n^thorden ecuación característica. Esto significa que eln^th La ecuación característica de orden no debe tener ningún coeficiente de valor cero.

Condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz

La condición suficiente es que todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh tengan el mismo signo. Esto significa que todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben ser positivos o negativos.

Método de matriz de Routh

Si todas las raíces de la ecuación característica existen en la mitad izquierda del plano 's', entonces el sistema de control es estable. Si existe al menos una raíz de la ecuación característica en la mitad derecha del plano 's', entonces el sistema de control es inestable. Entonces, tenemos que encontrar las raíces de la ecuación característica para saber si el sistema de control es estable o inestable. Pero es difícil encontrar las raíces de la ecuación característica a medida que aumenta el orden.

Entonces, para superar este problema, tenemos la Routh array method. En este método, no es necesario calcular las raíces de la ecuación característica. Primero formule la tabla de Routh y encuentre el número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. El número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh da el número de raíces de la ecuación característica que existen en la mitad derecha del plano 's' y el sistema de control es inestable.

Siga este procedimiento para formar la tabla Routh.

• Llene las dos primeras filas de la matriz de Routh con los coeficientes del polinomio característico como se menciona en la tabla siguiente. Comience con el coeficiente de $ s ^ n $ y continúe hasta el coeficiente de $ s ^ 0 $.

• Llene las filas restantes de la matriz de Routh con los elementos mencionados en la tabla siguiente. Continúe este proceso hasta que obtenga el primer elemento de columna derow $s^0$es $ a_n $. Aquí, $ a_n $ es el coeficiente de $ s ^ 0 $ en el polinomio característico.

Note - Si algún elemento de fila de la tabla de Routh tiene algún factor común, entonces puede dividir los elementos de fila con ese factor para que la simplificación sea fácil.

La siguiente tabla muestra la matriz de Routh del polinomio característico de n- ^ésimo orden.

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} + ... + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$

$ s ^ n $	$ a_0 $	$ a_2 $	$ a_4 ​​$	$ a_6 $	...	...
$ s ^ {n-1} $	$ a_1 $	$ a_3 $	$ a_5 $	$ a_7 $	...	...
$ s ^ {n-2} $	$ b_1 = \ frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $	$ b_2 = \ frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $	$ b_3 = \ frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $	...	...	...
$ s ^ {n-3} $	$ c_1 = \ frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $	$ c_2 = \ frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $	$ \ vdots $
$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 1 $	$ \ vdots $	$ \ vdots $
$ s ^ 0 $	$ a_n $

Example

Encontremos la estabilidad del sistema de control que tiene la ecuación característica,

$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 - Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes del polinomio característico $ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $ son positivos. Entonces, el sistema de control satisface la condición necesaria.

Step 2 - Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 3 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	$ 3 $	$ 2 $
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(3 \ times 3) - (2 \ times 1)} {3} = \ frac {7} {3} $	$ \ frac {(3 \ times 1) - (0 \ times 1)} {3} = \ frac {3} {3} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ frac {7} {3} \ times 2 \ right) - (1 \ times 3)} {\ frac {7} {3}} = \ frac {5} {7} $
$ s ^ 0 $	$ 1 $

Step 3 - Verificar la condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh son positivos. No hay ningún cambio de signo en la primera columna de la matriz de Routh. Entonces, el sistema de control es estable.

Casos especiales de Routh Array

Podemos encontrarnos con dos tipos de situaciones, mientras formamos la mesa de Routh. Es difícil completar la tabla de Routh a partir de estas dos situaciones.

Los dos casos especiales son:

• El primer elemento de cualquier fila de la matriz de Routh es cero.
• Todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero.

Analicemos ahora cómo superar la dificultad en estos dos casos, uno por uno.

El primer elemento de cualquier fila de la matriz de Routh es cero

Si alguna fila de la matriz de Routh contiene solo el primer elemento como cero y al menos uno de los elementos restantes tiene un valor distinto de cero, reemplace el primer elemento con un pequeño entero positivo, $ \ epsilon $. Y luego continúe el proceso de completar la tabla de Routh. Ahora, encuentre el número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh sustituyendo $ \ epsilon $ tiende a cero.

Example

Encontremos la estabilidad del sistema de control que tiene la ecuación característica,

$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Step 1 - Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes del polinomio característico $ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $ son positivos. Entonces, el sistema de control cumplió con la condición necesaria.

Step 2 - Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$ s ^ 4 $	$ 1 $	$ 1 $	$ 1 $
$ s ^ 3 $	2 1	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (0 \ times 1)} {1} = 1 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

Los elementos de la fila $ s ^ 3 $ tienen 2 como factor común. Entonces, todos estos elementos se dividen por 2.

Special case (i)- Solo el primer elemento de la fila $ s ^ 2 $ es cero. Entonces, reemplácelo por $ \ epsilon $ y continúe con el proceso de completar la tabla de Routh.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	$ \ epsilon $	1
$ s ^ 1 $	$ \ frac {\ left (\ epsilon \ times 1 \ right) - \ left (1 \ times 1 \ right)} {\ epsilon} = \ frac {\ epsilon-1} {\ epsilon} $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 - Verificar la condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Como $ \ epsilon $ tiende a cero, la tabla de Routh se vuelve así.

$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	1	1
$ s ^ 2 $	0	1
$ s ^ 1 $	-∞
$ s ^ 0 $	1

Hay dos cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. Por tanto, el sistema de control es inestable.

Todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero

En este caso, siga estos dos pasos:

• Escribe la ecuación auxiliar, A (s) de la fila, que está justo encima de la fila de ceros.

• Diferenciar la ecuación auxiliar, A (s) con respecto a s. Llene la fila de ceros con estos coeficientes.

Example

Encontremos la estabilidad del sistema de control que tiene la ecuación característica,

$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$

Step 1 - Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes del polinomio característico dado son positivos. Entonces, el sistema de control cumplió con la condición necesaria.

Step 2 - Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	3 1	3 1	3 1
$ s ^ 3 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $	$ \ frac {(1 \ times 1) - (1 \ times 1)} {1} = 0 $
$ s ^ 2 $
$ s ^ 1 $
$ s ^ 0 $

Los elementos de la fila $ s ^ 4 $ tienen el factor común de 3. Entonces, todos estos elementos se dividen entre 3.

Special case (ii)- Todos los elementos de la fila $ s ^ 3 $ son cero. Entonces, escriba la ecuación auxiliar, A (s) de la fila $ s ^ 4 $.

$$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$

Diferenciar la ecuación anterior con respecto a s.

$$ \ frac {\ text {d} A (s)} {\ text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$

Coloque estos coeficientes en la fila $ s ^ 3 $.

$ s ^ 5 $	1	1	1
$ s ^ 4 $	1	1	1
$ s ^ 3 $	4 2	2 1
$ s ^ 2 $	$ \ frac {(2 \ times 1) - (1 \ times 1)} {2} = 0.5 $	$ \ frac {(2 \ times 1) - (0 \ times 1)} {2} = 1 $
$ s ^ 1 $	$ \ frac {(0.5 \ times 1) - (1 \ times 2)} {0.5} = \ frac {-1.5} {0.5} = - 3 $
$ s ^ 0 $	1

Step 3 - Verificar la condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Hay dos cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. Por tanto, el sistema de control es inestable.

En el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, podemos saber si los polos de lazo cerrado están en la mitad izquierda del plano 's' o en la mitad derecha del plano 's' o en un eje imaginario. Entonces, no podemos encontrar la naturaleza del sistema de control. Para superar esta limitación, existe una técnica conocida como el lugar de las raíces. Discutiremos esta técnica en los dos capítulos siguientes.