Modelado de sistemas mecánicos
En este capítulo, analicemos el differential equation modelingde sistemas mecánicos. Hay dos tipos de sistemas mecánicos según el tipo de movimiento.
- Sistemas mecánicos traslacionales
- Sistemas mecánicos rotacionales
Modelado de sistemas mecánicos traslacionales
Los sistemas mecánicos traslacionales se mueven a lo largo de un straight line. Estos sistemas constan principalmente de tres elementos básicos. Esos son masa, resorte y amortiguador o amortiguador.
Si se aplica una fuerza a un sistema mecánico de traslación, entonces se oponen fuerzas opuestas debido a la masa, la elasticidad y la fricción del sistema. Dado que la fuerza aplicada y las fuerzas opuestas están en direcciones opuestas, la suma algebraica de las fuerzas que actúan sobre el sistema es cero. Veamos ahora la fuerza a la que se oponen estos tres elementos individualmente.
Masa
La masa es propiedad de un cuerpo, que almacena kinetic energy. Si se aplica una fuerza sobre un cuerpo que tiene masaM, entonces se opone a una fuerza opuesta debida a la masa. Esta fuerza opuesta es proporcional a la aceleración del cuerpo. Suponga que la elasticidad y la fricción son insignificantes.
$$ F_m \ propto \: a $$
$$ \ Flecha derecha F_m = Ma = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} $$
$$ F = F_m = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} $$
Dónde,
F es la fuerza aplicada
Fm es la fuerza opuesta debido a la masa
M es masa
a es aceleración
x es el desplazamiento
Primavera
La primavera es un elemento que almacena potential energy. Si se aplica una fuerza al resorteK, entonces se opone a una fuerza opuesta debido a la elasticidad del resorte. Esta fuerza opuesta es proporcional al desplazamiento del resorte. Suponga que la masa y la fricción son insignificantes.
$$ F \ propto \: x $$
$$ \ Flecha derecha F_k = Kx $$
$$ F = F_k = Kx $$
Dónde,
F es la fuerza aplicada
Fk es la fuerza opuesta debido a la elasticidad del resorte
K es constante de resorte
x es el desplazamiento
Dashpot
Si se aplica una fuerza en el dashpot B, entonces se opone a una fuerza opuesta debido a frictiondel dashpot. Esta fuerza opuesta es proporcional a la velocidad del cuerpo. Suponga que la masa y la elasticidad son insignificantes.
$$ F_b \ propto \: \ nu $$
$$ \ Flecha derecha F_b = B \ nu = B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} $$
$$ F = F_b = B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} $$
Dónde,
Fb es la fuerza opuesta debido a la fricción del amortiguador
B es el coeficiente de fricción
v es la velocidad
x es el desplazamiento
Modelado de sistemas mecánicos rotacionales
Los sistemas mecánicos rotacionales se mueven alrededor de un eje fijo. Estos sistemas constan principalmente de tres elementos básicos. Esos sonmoment of inertia, torsional spring y dashpot.
Si se aplica un par a un sistema mecánico rotatorio, entonces se oponen pares opuestos debido al momento de inercia, elasticidad y fricción del sistema. Dado que el par aplicado y los pares opuestos están en direcciones opuestas, la suma algebraica de los pares que actúan sobre el sistema es cero. Veamos ahora el par al que se oponen estos tres elementos individualmente.
Momento de inercia
En el sistema mecánico de traslación, la masa almacena energía cinética. De manera similar, en el sistema mecánico rotacional, el momento de inercia almacenakinetic energy.
Si se aplica un par en un cuerpo que tiene momento de inercia J, entonces se opone a un par opuesto debido al momento de inercia. Este par opuesto es proporcional a la aceleración angular del cuerpo. Suponga que la elasticidad y la fricción son insignificantes.
$$ T_j \ propto \: \ alpha $$
$$ \ Flecha derecha T_j = J \ alpha = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} $$
$$ T = T_j = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} $$
Dónde,
T es el par aplicado
Tj es el par opuesto debido al momento de inercia
J es momento de inercia
α es la aceleración angular
θ es el desplazamiento angular
Resorte torsional
En el sistema mecánico traslacional, el resorte almacena energía potencial. De manera similar, en el sistema mecánico rotacional, el resorte de torsión almacenapotential energy.
Si se aplica un par en el resorte de torsión K, entonces se opone a un par opuesto debido a la elasticidad del resorte de torsión. Este par opuesto es proporcional al desplazamiento angular del resorte de torsión. Suponga que el momento de inercia y la fricción son despreciables.
$$ T_k \ propto \: \ theta $$
$$ \ Flecha derecha T_k = K \ theta $$
$$ T = T_k = K \ theta $$
Dónde,
T es el par aplicado
Tk es el par opuesto debido a la elasticidad del resorte de torsión
K es la constante del resorte de torsión
θ es el desplazamiento angular
Dashpot
Si se aplica un par en el salpicadero B, entonces se opone a un par opuesto debido a la rotational frictiondel dashpot. Este par opuesto es proporcional a la velocidad angular del cuerpo. Suponga que el momento de inercia y la elasticidad son despreciables.
$$ T_b \ propto \: \ omega $$
$$ \ Flecha derecha T_b = B \ omega = B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} $$
$$ T = T_b = B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} $$
Dónde,
Tb es el par opuesto debido a la fricción rotacional del amortiguador
B es el coeficiente de fricción rotacional
ω es la velocidad angular
θ es el desplazamiento angular