Analogías eléctricas de sistemas mecánicos
Se dice que dos sistemas son analogous entre sí si se cumplen las dos condiciones siguientes.
- Los dos sistemas son físicamente diferentes
- El modelado de ecuaciones diferenciales de estos dos sistemas es el mismo
Los sistemas eléctricos y los sistemas mecánicos son dos sistemas físicamente diferentes. Hay dos tipos de analogías eléctricas de sistemas mecánicos traslacionales. Esas son analogía de voltaje de fuerza y analogía de corriente de fuerza.
Forzar analogía de voltaje
En la analogía del voltaje de fuerza, las ecuaciones matemáticas de translational mechanical system se comparan con las ecuaciones de malla del sistema eléctrico.
Considere el siguiente sistema mecánico de traslación como se muestra en la siguiente figura.
los force balanced equation para este sistema es
$$ F = F_m + F_b + F_k $$
$ \ Flecha derecha F = M \ frac {\ text {d} ^ 2x} {\ text {d} t ^ 2} + B \ frac {\ text {d} x} {\ text {d} t} + Kx $ (Equation 1)
Considere el siguiente sistema eléctrico como se muestra en la siguiente figura. Este circuito consta de una resistencia, un inductor y un condensador. Todos estos elementos eléctricos están conectados en serie. El voltaje de entrada aplicado a este circuito es $ V $ voltios y la corriente que fluye a través del circuito es $ i $ Amps.
La ecuación de malla para este circuito es
$ V = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + \ frac {1} {c} \ int idt $ (Equation 2)
Sustituya $ i = \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} $ en la Ecuación 2.
$$ V = R \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} + L \ frac {\ text {d} ^ 2q} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac { q} {C} $$
$ \ Rightarrow V = L \ frac {\ text {d} ^ 2q} {\ text {d} t ^ 2} + R \ frac {\ text {d} q} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {c} \ derecha) q $ (Equation 3)
Al comparar la Ecuación 1 y la Ecuación 3, obtendremos las cantidades análogas del sistema mecánico de traslación y el sistema eléctrico. La siguiente tabla muestra estas cantidades análogas.
Sistema mecánico traslacional | Sistema eléctrico |
---|---|
Fuerza (F) | Voltaje (v) |
Masa (M) | Inductancia (l) |
Coeficiente de fricción (B) | Resistencia (R) |
Constante de resorte (K) | Recíproco de capacitancia $ (\ frac {1} {c}) $ |
Desplazamiento (x) | Carga (q) |
Velocidad (v) | Actual (i) |
De manera similar, existe una analogía de voltaje de par para sistemas mecánicos rotacionales. Analicemos ahora esta analogía.
Analogía de voltaje de par
En esta analogía, las ecuaciones matemáticas de rotational mechanical system se comparan con las ecuaciones de malla del sistema eléctrico.
El sistema mecánico rotacional se muestra en la siguiente figura.
La ecuación balanceada de torque es
$$ T = T_j + T_b + T_k $$
$ \ Flecha derecha T = J \ frac {\ text {d} ^ 2 \ theta} {\ text {d} t ^ 2} + B \ frac {\ text {d} \ theta} {\ text {d} t} + k \ theta $ (Equation 4)
Comparando la Ecuación 4 y la Ecuación 3, obtendremos las cantidades análogas de sistema mecánico rotacional y sistema eléctrico. La siguiente tabla muestra estas cantidades análogas.
Sistema mecánico rotacional | Sistema eléctrico |
---|---|
Torque (T) | Voltaje (v) |
Momento de inercia (J) | Inductancia (l) |
Coeficiente de fricción rotacional (B) | Resistencia (R) |
Constante de resorte de torsión (K) | Recíproco de capacitancia $ (\ frac {1} {c}) $ |
Desplazamiento angular (θ) | Carga (q) |
Velocidad angular (ω) | Actual (i) |
Forzar analogía actual
En vigor la analogía actual, las ecuaciones matemáticas del translational mechanical system se comparan con las ecuaciones nodales del sistema eléctrico.
Considere el siguiente sistema eléctrico como se muestra en la siguiente figura. Este circuito consta de una fuente de corriente, una resistencia, un inductor y un condensador. Todos estos elementos eléctricos están conectados en paralelo.
La ecuación nodal es
$ i = \ frac {V} {R} + \ frac {1} {L} \ int Vdt + C \ frac {\ text {d} V} {\ text {d} t} $ (Equation 5)
Sustituya $ V = \ frac {\ text {d} \ Psi} {\ text {d} t} $ en la Ecuación 5.
$$ i = \ frac {1} {R} \ frac {\ text {d} \ Psi} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {L} \ right) \ Psi + C \ frac {\ text {d} ^ 2 \ Psi} {\ text {d} t ^ 2} $$
$ \ Rightarrow i = C \ frac {\ text {d} ^ 2 \ Psi} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {1} {R} \ right) \ frac {\ text { d} \ Psi} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {L} \ right) \ Psi $ (Equation 6)
Al comparar la Ecuación 1 y la Ecuación 6, obtendremos las cantidades análogas del sistema mecánico de traslación y el sistema eléctrico. La siguiente tabla muestra estas cantidades análogas.
Sistema mecánico traslacional | Sistema eléctrico |
---|---|
Fuerza (F) | Actual (i) |
Masa (M) | Capacitancia (C) |
Coeficiente de fricción (B) | Recíproco de resistencia $ (\ frac {1} {R}) $ |
Constante de resorte (K) | Recíproco de inductancia $ (\ frac {1} {L}) $ |
Desplazamiento (x) | Flujo magnético (ψ) |
Velocidad (v) | Voltaje (v) |
De manera similar, existe una analogía de la corriente de par para los sistemas mecánicos rotacionales. Analicemos ahora esta analogía.
Analogía de corriente de par
En esta analogía, las ecuaciones matemáticas del rotational mechanical system se comparan con las ecuaciones de malla nodal del sistema eléctrico.
Al comparar la Ecuación 4 y la Ecuación 6, obtendremos las cantidades análogas de sistema mecánico rotacional y sistema eléctrico. La siguiente tabla muestra estas cantidades análogas.
Sistema mecánico rotacional | Sistema eléctrico |
---|---|
Torque (T) | Actual (i) |
Momento de inercia (J) | Capacitancia (C) |
Coeficiente de fricción rotacional (B) | Recíproco de resistencia $ (\ frac {1} {R}) $ |
Constante de resorte de torsión (K) | Recíproco de inductancia $ (\ frac {1} {L}) $ |
Desplazamiento angular (θ) | Flujo magnético (ψ) |
Velocidad angular (ω) | Voltaje (v) |
En este capítulo, discutimos las analogías eléctricas de los sistemas mecánicos. Estas analogías son útiles para estudiar y analizar el sistema no eléctrico como el sistema mecánico de un sistema eléctrico análogo.