Análisis de respuesta de frecuencia

Ya hemos discutido el análisis de respuesta en el tiempo de los sistemas de control y las especificaciones en el dominio del tiempo de los sistemas de control de segundo orden. En este capítulo, analicemos el análisis de respuesta en frecuencia de los sistemas de control y las especificaciones en el dominio de la frecuencia de los sistemas de control de segundo orden.

¿Qué es la respuesta de frecuencia?

La respuesta de un sistema se puede dividir tanto en la respuesta transitoria como en la respuesta de estado estable. Podemos encontrar la respuesta transitoria usando integrales de Fourier. La respuesta de estado estable de un sistema para una señal sinusoidal de entrada se conoce comofrequency response. En este capítulo, nos centraremos solo en la respuesta de estado estable.

Si se aplica una señal sinusoidal como entrada a un sistema lineal invariable en el tiempo (LTI), entonces produce la salida de estado estable, que también es una señal sinusoidal. Las señales sinusoidales de entrada y salida tienen la misma frecuencia, pero diferentes amplitudes y ángulos de fase.

Deje que la señal de entrada sea -

$$ r (t) = A \ sin (\ omega_0t) $$

La función de transferencia de bucle abierto será:

$$ G (s) = G (j \ omega) $$

Podemos representar $ G (j \ omega) $ en términos de magnitud y fase como se muestra a continuación.

$$ G (j \ omega) = | G (j \ omega) | \ ángulo G (j \ omega) $$

Sustituya $ \ omega = \ omega_0 $ en la ecuación anterior.

$$ G (j \ omega_0) = | G (j \ omega_0) | \ ángulo G (j \ omega_0) $$

La señal de salida es

$$ c (t) = A | G (j \ omega_0) | \ sin (\ omega_0t + \ angle G (j \ omega_0)) $$

• los amplitude de la señal sinusoidal de salida se obtiene multiplicando la amplitud de la señal sinusoidal de entrada y la magnitud de $ G (j \ omega) $ en $ \ omega = \ omega_0 $.

• los phase de la señal sinusoidal de salida se obtiene sumando la fase de la señal sinusoidal de entrada y la fase de $ G (j \ omega) $ en $ \ omega = \ omega_0 $.

Dónde,

• A es la amplitud de la señal sinusoidal de entrada.

• ω₀ es la frecuencia angular de la señal sinusoidal de entrada.

Podemos escribir, frecuencia angular $ \ omega_0 $ como se muestra a continuación.

$$ \ omega_0 = 2 \ pi f_0 $$

Aquí, $ f_0 $ es la frecuencia de la señal sinusoidal de entrada. Del mismo modo, puede seguir el mismo procedimiento para el sistema de control de circuito cerrado.

Especificaciones de dominio de frecuencia

Las especificaciones en el dominio de la frecuencia son resonant peak, resonant frequency and bandwidth.

Considere la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden como,

$$ T (s) = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Sustituya $ s = j \ omega $ en la ecuación anterior.

$$ T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {(j \ omega) ^ 2 + 2 \ delta \ omega_n (j \ omega) + \ omega_n ^ 2} $$

$$ \ Flecha derecha T (j \ omega) = \ frac {\ omega_n ^ 2} {- \ omega ^ 2 + 2j \ delta \ omega \ omega_n + \ omega_n ^ 2} = \ frac {\ omega_n ^ 2} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

$$ \ Flecha derecha T (j \ omega) = \ frac {1} {\ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} \ right) + j \ left (\ frac {2 \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $$

Sea, $ \ frac {\ omega} {\ omega_n} = u $ Sustituya este valor en la ecuación anterior.

$$ T (j \ omega) = \ frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 \ delta u)} $$

La magnitud de $ T (j \ omega) $ es -

$$ M = | T (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2}} $$

La fase de $ T (j \ omega) $ es -

$$ \ angle T (j \ omega) = - tan ^ {- 1} \ left (\ frac {2 \ delta u} {1-u ^ 2} \ right) $$

Frecuencia de resonancia

Es la frecuencia a la que la magnitud de la respuesta de frecuencia tiene un valor pico por primera vez. Se indica con $ \ omega_r $. En $ \ omega = \ omega_r $, la primera derivada de la magnitud de $ T (j \ omega) $ es cero.

Diferenciar $ M $ con respecto a $ u $.

$$ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [2 (1-u ^ 2) (- 2u) +2 (2 \ delta u) (2 \ delta) \ right] $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u ) ^ 2 \ right] ^ {\ frac {-3} {2}} \ left [4u (u ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

Sustituye $ u = u_r $ y $ \ frac {\ text {d} M} {\ text {d} u} == 0 $ en la ecuación anterior.

$$ 0 = - \ frac {1} {2} \ left [(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2 \ right] ^ {- \ frac {3} {2}} \ left [4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) \ right] $$

$$ \ Flecha derecha 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 \ delta ^ 2) = 0 $$

$$ \ Flecha derecha u_r ^ 2-1 + 2 \ delta ^ 2 = 0 $$

$$ \ Flecha derecha u_r ^ 2 = 1-2 \ delta ^ 2 $$

$$ \ Rightarrow u_r = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Sustituye $ u_r = \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} $ en la ecuación anterior.

$$ \ frac {\ omega_r} {\ omega_n} = \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

$$ \ Flecha derecha \ omega_r = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2} $$

Pico resonante

Es el valor pico (máximo) de la magnitud de $ T (j \ omega) $. Se denota por $ M_r $.

En $ u = u_r $, la Magnitud de $ T (j \ omega) $ es -

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_r) ^ 2}} $$

Sustituya $ u_r = \ sqrt {1 - 2 \ delta ^ 2} $ y $ 1 - u_r ^ 2 = 2 \ delta ^ 2 $ en la ecuación anterior.

$$ M_r = \ frac {1} {\ sqrt {(2 \ delta ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2}) ^ 2}} $$

$$ \ Flecha derecha M_r = \ frac {1} {2 \ delta \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} $$

El pico resonante en la respuesta de frecuencia corresponde al pico de sobreimpulso en la respuesta transitoria en el dominio del tiempo para ciertos valores de la relación de amortiguamiento $ \ delta $. Por lo tanto, el pico resonante y el sobreimpulso del pico están correlacionados entre sí.

Banda ancha

Es el rango de frecuencias sobre el cual, la magnitud de $ T (j \ omega) $ cae al 70,7% desde su valor de frecuencia cero.

En $ \ omega = 0 $, el valor de $ u $ será cero.

Sustituya, $ u = 0 $ en M.

$$ M = \ frac {1} {\ sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta (0)) ^ 2}} = 1 $$

Por lo tanto, la magnitud de $ T (j \ omega) $ es uno en $ \ omega = 0 $.

A una frecuencia de 3 dB, la magnitud de $ T (j \ omega) $ será el 70,7% de la magnitud de $ T (j \ omega) $ en $ \ omega = 0 $.

es decir, en $ \ omega = \ omega_B, M = 0.707 (1) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} $

$$ \ Flecha derecha M = \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac {1} {\ sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta u_b) ^ 2}} $$

$$ \ Flecha derecha 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$

Sea $ u_b ^ 2 = x $

$$ \ Flecha derecha 2 = (1-x) ^ 2 + (2 \ delta) ^ 2 x $$

$$ \ Flecha derecha x ^ 2 + (4 \ delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$

$$ \ Flecha derecha x = \ frac {- (4 \ delta ^ 2 -2) \ pm \ sqrt {(4 \ delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$

Considere solo el valor positivo de x.

$$ x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2 \ delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$

$$ \ Flecha derecha x = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

Sustituir, $ x = u_b ^ 2 = \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} $

$$ \ frac {\ omega_b ^ 2} {\ omega_n ^ 2} = 1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)} $$

$$ \ Flecha derecha \ omega_b = \ omega_n \ sqrt {1-2 \ delta ^ 2 + \ sqrt {(2-4 \ delta ^ 2 + 4 \ delta ^ 4)}} $$

El ancho de banda $ \ omega_b $ en la respuesta de frecuencia es inversamente proporcional al tiempo de subida $ t_r $ en la respuesta transitoria en el dominio del tiempo.