Sistemas de control - Modelo de espacio de estados

los state space model del sistema Linear Time-Invariant (LTI) se puede representar como,

$$ \ dot {X} = AX + BU $$

$$ Y = CX + DU $$

La primera y la segunda ecuaciones se conocen como ecuación de estado y ecuación de salida, respectivamente.

Dónde,

• X y $ \ dot {X} $ son el vector de estado y el vector de estado diferencial respectivamente.

• U e Y son vector de entrada y vector de salida respectivamente.

• A es la matriz del sistema.

• B y C son las matrices de entrada y salida.

• D es la matriz de retroalimentación.

Conceptos básicos del modelo de espacio de estados

La siguiente terminología básica involucrada en este capítulo.

Estado

Es un grupo de variables, que resume la historia del sistema para predecir los valores futuros (salidas).

Variable de estado

El número de variables de estado requeridas es igual al número de elementos de almacenamiento presentes en el sistema.

Examples - corriente que fluye a través del inductor, voltaje a través del condensador

Vector de estado

Es un vector que contiene las variables de estado como elementos.

En los capítulos anteriores, hemos discutido dos modelos matemáticos de los sistemas de control. Estos son el modelo de ecuación diferencial y el modelo de función de transferencia. El modelo de espacio de estados se puede obtener a partir de cualquiera de estos dos modelos matemáticos. Analicemos ahora estos dos métodos uno por uno.

Modelo de espacio de estados a partir de ecuación diferencial

Considere la siguiente serie del circuito RLC. Tiene un voltaje de entrada, $ v_i (t) $ y la corriente que fluye a través del circuito es $ i (t) $.

Hay dos elementos de almacenamiento (inductor y condensador) en este circuito. Entonces, el número de variables de estado es igual a dos y estas variables de estado son la corriente que fluye a través del inductor, $ i (t) $ y el voltaje a través del capacitor, $ v_c (t) $.

Desde el circuito, el voltaje de salida, $ v_0 (t) $ es igual al voltaje a través del capacitor, $ v_c (t) $.

$$ v_0 (t) = v_c (t) $$

Aplicar KVL alrededor del bucle.

$$ v_i (t) = Ri (t) + L \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} + v_c (t) $$

$$ \ Flecha derecha \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} = - \ frac {Ri (t)} {L} - \ frac {v_c (t)} {L} + \ frac {v_i (t)} {L} $$

El voltaje a través del capacitor es -

$$ v_c (t) = \ frac {1} {C} \ int i (t) dt $$

Diferenciar la ecuación anterior con respecto al tiempo.

$$ \ frac {\ text {d} v_c (t)} {\ text {d} t} = \ frac {i (t)} {C} $$

Vector de estado, $ X = \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $

Vector de estado diferencial, $ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t )} {\ text {d} t} \ end {bmatrix} $

Podemos organizar las ecuaciones diferenciales y la ecuación de salida en la forma estándar del modelo de espacio de estados como,

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ frac {\ text {d} i (t)} {\ text {d} t} \\\ frac {\ text {d} v_c (t)} { \ text {d} t} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix } v_i (t) \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} i (t) \\ v_c (t) \ end {bmatrix} $$

Dónde,

$$ A = \ begin {bmatrix} - \ frac {R} {L} & - \ frac {1} {L} \\\ frac {1} {C} & 0 \ end {bmatrix}, \: B = \ begin {bmatrix} \ frac {1} {L} \\ 0 \ end {bmatrix}, \: C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \: y \: D = \ begin {bmatrix } 0 \ end {bmatrix} $$

Modelo de espacio de estados de la función de transferencia

Considere los dos tipos de funciones de transferencia según el tipo de términos presentes en el numerador.

• Función de transferencia que tiene un término constante en el numerador.
• Función de transferencia que tiene una función polinomial de 's' en Numerador.

Función de transferencia que tiene un término constante en el numerador

Considere la siguiente función de transferencia de un sistema

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1s + a_0} $ PS

Reorganizar, la ecuación anterior como

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) Y (s) = b_0 U (s) $$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + a_0y (t) = b_0 u (t) $$

Dejar

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} y (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ PS

$$ \ frac {\ text {d} ^ ny (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

y $ u (t) = u $

Luego,

$$ \ dot {x} _n + a_ {n-1} x_n + ... + a_1x_2 + a_0x_1 = b_0 u $$

De la ecuación anterior, podemos escribir la siguiente ecuación de estado.

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + b_0 u $$

La ecuación de salida es -

$$ y (t) = y = x_1 $$

El modelo de espacio de estados es:

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Aquí, $ D = \ left [0 \ right]. $

Ejemplo

Encuentre el modelo de espacio de estados para el sistema que tiene función de transferencia.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$

Reorganizar, la ecuación anterior como,

$$ (s ^ 2 + s + 1) Y (s) = U (s) $$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2y (t)} {\ text {d} t ^ 2} + \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} + y (t) = u (t) $$

Dejar

$$ y (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} y (t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

y $ u (t) = u $

Entonces, la ecuación de estado es

$$ \ dot {x} _2 = -x_1-x_2 + u $$

La ecuación de salida es

$$ y (t) = y = x_1 $$

El modelo de espacio de estados es

$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ - 1 & -1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ left [u \ right] $$

$$ Y = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$

Función de transferencia que tiene la función polinomial de 's' en el numerador

Considere la siguiente función de transferencia de un sistema

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} \ right) (b_n s ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) $$

La ecuación anterior tiene la forma de producto de funciones de transferencia de dos bloques, que están en cascada.

$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ left (\ frac {V (s)} {U (s)} \ right) \ left (\ frac {Y (s)} {V (s)} \ derecha) $$

Aquí,

$$ \ frac {V (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_1 s + a_0} $$

Reorganizar, la ecuación anterior como

$$ (s ^ n + a_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + a_0) V (s) = U (s) $$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + a_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t )} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + a_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + a_0v (t) = u (t) $$

Dejar

$$ v (t) = x_1 $$

$$ \ frac {\ text {d} v ((t)} {\ text {d} t} = x_2 = \ dot {x} _1 $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v (t)} {\ text {d} t ^ 2} = x_3 = \ dot {x} _2 $$

$$. $$

$$. $$

$$. $$

$$ \ frac {\ text {d} ^ {n-1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} = x_n = \ dot {x} _ {n-1} $ PS

$$ \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} = \ dot {x} _n $$

y $ u (t) = u $

Entonces, la ecuación de estado es

$$ \ dot {x} _n = -a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u $$

Considerar,

$$ \ frac {Y (s)} {V (s)} = b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0 $$

Reorganizar, la ecuación anterior como

$$ Y (s) = (b_ns ^ n + b_ {n-1} s ^ {n-1} + ... + b_1s + b_0) V (s) $$

Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.

$$ y (t) = b_n \ frac {\ text {d} ^ nv (t)} {\ text {d} t ^ n} + b_ {n-1} \ frac {\ text {d} ^ {n -1} v (t)} {\ text {d} t ^ {n-1}} + ... + b_1 \ frac {\ text {d} v (t)} {\ text {d} t} + b_0v (t) $$

Sustituyendo las variables de estado y $ y (t) = y $ en la ecuación anterior, obtendrá la ecuación de salida como,

$$ y = b_n \ dot {x} _n + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

Sustituya el valor $ \ dot {x} _n $ en la ecuación anterior.

$$ y = b_n (-a_0x_1-a_1x_2 -...- a_ {n-1} x_n + u) + b_ {n-1} x_n + ... + b_1x_2 + b_0x_1 $$

$$ y = (b_0-b_na_0) x_1 + (b_1-b_na_1) x_2 + ... + (b_ {n-1} -b_na_ {n-1}) x_n + b_n u $$

El modelo de espacio de estados es

$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \\\ vdots \\\ dot {x} _ {n-1} \\\ dot {x} _n \ end {bmatrix} $

$$ = \ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & \ dotso & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ dotso & 0 & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ dotso & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ dotso & 0 & 1 \\ - a_0 & -a_1 & -a_2 & \ dotso & -a_ {n-2} & -a_ {n-1} \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\ b_0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} u \ end {bmatrix} $$

$$ Y = [b_0-b_na_0 \ quad b_1-b_na_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} -b_na_ {n-2} \ quad b_ {n-1} -b_na_ {n-1}] \ comenzar {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n-1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$

Si $ b_n = 0 $, entonces,

$$ Y = [b_0 \ quad b_1 \ quad ... \ quad b_ {n-2} \ quad b_ {n-1}] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\ vdots \\ x_ {n- 1} \\ x_n \ end {bmatrix} $$