Sistemas de control: análisis del espacio de estados
En el capítulo anterior, aprendimos cómo obtener el modelo de espacio de estados a partir de la ecuación diferencial y la función de transferencia. En este capítulo, analicemos cómo obtener la función de transferencia del modelo de espacio de estados.
Función de transferencia del modelo de espacio de estados
Sabemos que el modelo de espacio de estado de un sistema lineal invariable en el tiempo (LTI) es:
$$ \ dot {X} = AX + BU $$
$$ Y = CX + DU $$
Aplicar la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación de estado.
$$ sX (s) = AX (s) + BU (s) $$
$$ \ Flecha derecha (sI-A) X (s) = BU (s) $$
$$ \ Flecha derecha X (s) = (sI-A) ^ {- 1} BU (s) $$
Aplique la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación de salida.
$$ Y (s) = CX (s) + DU (s) $$
Sustituya el valor X (s) en la ecuación anterior.
$$ \ Flecha derecha Y (s) = C (sI-A) ^ {- 1} BU (s) + DU (s) $$
$$ \ Flecha derecha Y (s) = [C (sI-A) ^ {- 1} B + D] U (s) $$
$$ \ Flecha derecha \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B + D $$
La ecuación anterior representa la función de transferencia del sistema. Entonces, podemos calcular la función de transferencia del sistema usando esta fórmula para el sistema representado en el modelo de espacio de estados.
Note - Cuando $ D = [0] $, la función de transferencia será
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Example
Calculemos la función de transferencia del sistema representado en el modelo de espacio de estados como,
$$ \ dot {X} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Aquí,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad C = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ quad y \ quad D = [0] $$
La fórmula para la función de transferencia cuando $ D = [0] $ es -
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = C (sI-A) ^ {- 1} B $$
Sustituya las matrices A, B y C en la ecuación anterior.
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s + 1 & 1 \\ - 1 & s \ end {bmatrix } ^ {- 1} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ frac {\ begin {bmatrix} s & -1 \\ 1 & s + 1 \ end {bmatrix}} {(s + 1) s-1 (-1)} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} s \\ 1 \ end {bmatrix}} {s ^ 2 + s + 1} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Por lo tanto, la función de transferencia del sistema para el modelo de espacio de estados dado es
$$ \ frac {Y (s)} {U (s)} = \ frac {1} {s ^ 2 + s + 1} $$
Matriz de transición de estados y sus propiedades
Si el sistema tiene condiciones iniciales, producirá una salida. Dado que esta salida está presente incluso en ausencia de entrada, se llamazero input response$ x_ {ZIR} (t) $. Matemáticamente, podemos escribirlo como,
$$ x_ {ZIR} (t) = e ^ {At} X (0) = L ^ {- 1} \ left \ {\ left [sI-A \ right] ^ {- 1} X (0) \ right \} $$
De la relación anterior, podemos escribir la matriz de transición de estado $ \ phi (t) $ como
$$ \ phi (t) = e ^ {At} = L ^ {- 1} [sI-A] ^ {- 1} $$
Entonces, la respuesta de entrada cero se puede obtener multiplicando la matriz de transición de estado $ \ phi (t) $ con la matriz de condiciones iniciales.
A continuación se muestran las propiedades de la matriz de transición de estado.
Si $ t = 0 $, entonces la matriz de transición de estado será igual a una matriz de identidad.
$$ \ phi (0) = I $$
La inversa de la matriz de transición de estado será la misma que la de la matriz de transición de estado simplemente respondiendo 't' por '-t'.
$$ \ phi ^ {- 1} (t) = \ phi (−t) $$
Si $ t = t_1 + t_2 $, entonces la matriz de transición de estado correspondiente es igual a la multiplicación de las dos matrices de transición de estado en $ t = t_1 $ y $ t = t_2 $.
$$ \ phi (t_1 + t_2) = \ phi (t_1) \ phi (t_2) $$
Controlabilidad y observabilidad
Analicemos ahora la controlabilidad y la observabilidad del sistema de control uno por uno.
Controlabilidad
Se dice que un sistema de control es controllable si los estados iniciales del sistema de control se transfieren (cambian) a otros estados deseados mediante una entrada controlada en una duración de tiempo finita.
Podemos verificar la controlabilidad de un sistema de control usando Kalman’s test.
Escribe la matriz $ Q_c $ de la siguiente forma.
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ quad A ^ 2B \ quad ... \ quad A ^ {n-1} B \ right] $$
Encuentre el determinante de la matriz $ Q_c $ y si no es igual a cero, entonces el sistema de control es controlable.
Observabilidad
Se dice que un sistema de control es observable si es capaz de determinar los estados iniciales del sistema de control observando las salidas en una duración de tiempo finita.
Podemos verificar la observabilidad de un sistema de control usando Kalman’s test.
Escribe la matriz $ Q_o $ en la siguiente forma.
$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ quad (A ^ T) ^ 2C ^ T \ quad ... \ quad (A ^ T) ^ {n-1} C ^ T \ derecha] $$
Encuentre el determinante de la matriz $ Q_o $ y si no es igual a cero, entonces el sistema de control es observable.
Example
Verifiquemos la controlabilidad y observabilidad de un sistema de control que se representa en el modelo de espacio de estados como,
$$ \ dot {x} = \ begin {bmatrix} \ dot {x} _1 \\\ dot {x} _2 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} + \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [u] $$
$$ Y = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix} $$
Aquí,
$$ A = \ begin {bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}, \ quad B = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \ quad \ begin {bmatrix } 0 & 1 \ end {bmatrix}, D = [0] \ quad y \ quad n = 2 $$
Para $ n = 2 $, la matriz $ Q_c $ será
$$ Q_c = \ left [B \ quad AB \ right] $$
Obtendremos el producto de las matrices A y B como,
$$ AB = \ begin {bmatrix} -1 \\ 1 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_c = \ begin {bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} $$
$$ | Q_c | = 1 \ neq 0 $$
Dado que el determinante de la matriz $ Q_c $ no es igual a cero, el sistema de control dado es controlable.
Para $ n = 2 $, la matriz $ Q_o $ será -
$$ Q_o = \ left [C ^ T \ quad A ^ TC ^ T \ right] $$
Aquí,
$$ A ^ T = \ begin {bmatrix} -1 & 1 \\ - 1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad y \ quad C ^ T = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} $ PS
Obtendremos el producto de las matrices $ A ^ T $ y $ C ^ T $ como
$$ A ^ TC ^ T = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Rightarrow Q_o = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} $$
$$ \ Flecha derecha | Q_o | = -1 \ quad \ neq 0 $$
Dado que el determinante de la matriz $ Q_o $ no es igual a cero, el sistema de control dado es observable.
Por lo tanto, el sistema de control dado es controlable y observable.