Respuesta del sistema de primer orden
En este capítulo, analicemos la respuesta en el tiempo del sistema de primer orden. Considere el siguiente diagrama de bloques del sistema de control de circuito cerrado. Aquí, una función de transferencia de bucle abierto, $ \ frac {1} {sT} $ está conectada con una retroalimentación negativa unitaria.
Sabemos que la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado tiene retroalimentación negativa unitaria como,
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {G (s)} {1 + G (s)} $$
Sustituya $ G (s) = \ frac {1} {sT} $ en la ecuación anterior.
$$ \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ frac {1} {sT}} {1+ \ frac {1} {sT}} = \ frac {1} {sT + 1} $$
La potencia de s es uno en el término denominador. Por lo tanto, la función de transferencia anterior es de primer orden y se dice que el sistema es elfirst order system.
Podemos reescribir la ecuación anterior como
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $$
Dónde,
C(s) es la transformada de Laplace de la señal de salida c (t),
R(s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada r (t), y
T es la constante de tiempo.
Siga estos pasos para obtener la respuesta (salida) del sistema de primer orden en el dominio del tiempo.
Tome la transformada de Laplace de la señal de entrada $ r (t) $.
Considere la ecuación, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sustituya el valor de $ R (s) $ en la ecuación anterior.
Haga fracciones parciales de $ C (s) $ si es necesario.
Aplicar la transformada inversa de Laplace a $ C (s) $.
En el capítulo anterior, hemos visto las señales de prueba estándar como impulso, escalón, rampa y parabólico. Averigüemos ahora las respuestas del sistema de primer orden para cada entrada, una por una. El nombre de la respuesta se da según el nombre de la señal de entrada. Por ejemplo, la respuesta del sistema a una entrada de impulso se denomina respuesta de impulso.
Respuesta de impulso del sistema de primer orden
Considera el unit impulse signal como entrada al sistema de primer orden.
Entonces, $ r (t) = \ delta (t) $
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.
$ R (s) = 1 $
Considere la ecuación, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sustituya, $ R (s) = 1 $ en la ecuación anterior.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) (1) = \ frac {1} {sT + 1} $$
Reorganice la ecuación anterior en una de las formas estándar de transformadas de Laplace.
$$ C (s) = \ frac {1} {T \ left (\ s + \ frac {1} {T} \ right)} \ Rightarrow C (s) = \ frac {1} {T} \ left (\ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} \ derecha) $$
Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.
$$ c (t) = \ frac {1} {T} e ^ \ left ({- \ frac {t} {T}} \ right) u (t) $$
La respuesta de impulso de la unidad se muestra en la siguiente figura.
los unit impulse response, c (t) es una señal decreciente exponencial para valores positivos de 't' y es cero para valores negativos de 't'.
Respuesta escalonada del sistema de primer orden
Considera el unit step signal como entrada al sistema de primer orden.
Entonces, $ r (t) = u (t) $
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.
$$ R (s) = \ frac {1} {s} $$
Considere la ecuación, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sustituya $ R (s) = \ frac {1} {s} $ en la ecuación anterior.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s} \ right) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$
Haz fracciones parciales de C (s).
$$ C (s) = \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A} {s} + \ frac {B} {sT + 1} $$
$$ \ Rightarrow \ frac {1} {s \ left (sT + 1 \ right)} = \ frac {A \ left (sT + 1 \ right) + Bs} {s \ left (sT + 1 \ right)} $$
En ambos lados, el término denominador es el mismo. Entonces, serán cancelados el uno por el otro. Por lo tanto, equipare los términos del numerador.
$$ 1 = A \ izquierda (sT + 1 \ derecha) + Bs $$
Al igualar los términos constantes en ambos lados, obtendrá A = 1.
Sustituya, A = 1 e iguale el coeficiente de la s términos en ambos lados.
$$ 0 = T + B \ Flecha derecha B = -T $$
Sustituya, A = 1 y B = −T en expansión de fracción parcial de $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {sT + 1} = \ frac {1} {s} - \ frac {T} {T \ left (s + \ frac { 1} {T} \ right)} $$
$$ \ Flecha derecha C (s) = \ frac {1} {s} - \ frac {1} {s + \ frac {1} {T}} $$
Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.
$$ c (t) = \ left (1-e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
los unit step response, c (t) tiene los términos transitorio y de estado estacionario.
El término transitorio en la respuesta al escalón unitario es:
$$ c_ {tr} (t) = - e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
El término de estado estable en la respuesta al escalón unitario es:
$$ c_ {ss} (t) = u (t) $$
La siguiente figura muestra la respuesta al escalón unitario.
El valor de la unit step response, c(t)es cero en t = 0 y para todos los valores negativos de t. Está aumentando gradualmente desde el valor cero y finalmente llega a uno en estado estable. Entonces, el valor de estado estable depende de la magnitud de la entrada.
Respuesta de rampa del sistema de primer orden
Considera el unit ramp signal como entrada al sistema de primer orden.
$ Entonces, r (t) = tu (t) $
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $$
Considere la ecuación, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sustituye $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 2} $ en la ecuación anterior.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 2} \ right) = \ frac {1} {s ^ 2 ( sT + 1)} $$
Haz fracciones parciales de $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 2} + \ frac {B} {s} + \ frac {C} {sT +1} $$
$$ \ Flecha derecha \ frac {1} {s ^ 2 (sT + 1)} = \ frac {A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2} {s ^ 2 (sT + 1) } $$
En ambos lados, el término denominador es el mismo. Entonces, serán cancelados el uno por el otro. Por lo tanto, equipare los términos del numerador.
$$ 1 = A (sT + 1) + Bs (sT + 1) + Cs ^ 2 $$
Al igualar los términos constantes en ambos lados, obtendrá A = 1.
Sustituya, A = 1 e iguale el coeficiente de los términos s en ambos lados.
$$ 0 = T + B \ Flecha derecha B = -T $$
De manera similar, sustituya B = −T e iguale el coeficiente de $ s ^ 2 $ términos en ambos lados. Obtendrá $ C = T ^ 2 $.
Sustituya A = 1, B = −T y $ C = T ^ 2 $ en la expansión de fracción parcial de $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {sT + 1} = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T ^ 2} {T \ left (s + \ frac {1} {T} \ right)} $$
$$ \ Flecha derecha C (s) = \ frac {1} {s ^ 2} - \ frac {T} {s} + \ frac {T} {s + \ frac {1} {T}} $$
Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.
$$ c (t) = \ left (t-T + Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right) u (t) $$
los unit ramp response, c (t) tiene los términos transitorio y de estado estacionario.
El término transitorio en la respuesta de rampa de la unidad es:
$$ c_ {tr} (t) = Te ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
El término de estado estable en la respuesta de rampa de la unidad es:
$$ c_ {ss} (t) = (tT) u (t) $$
La siguiente figura muestra la respuesta de rampa de la unidad.
los unit ramp response, c (t) sigue la señal de entrada de rampa unitaria para todos los valores positivos de t. Pero hay una desviación de T unidades de la señal de entrada.
Respuesta parabólica del sistema de primer orden
Considera el unit parabolic signal como entrada al sistema de primer orden.
Entonces, $ r (t) = \ frac {t ^ 2} {2} u (t) $
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.
$$ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $$
Considere la ecuación, $ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) R (s) $
Sustituye $ R (s) = \ frac {1} {s ^ 3} $ en la ecuación anterior.
$$ C (s) = \ left (\ frac {1} {sT + 1} \ right) \ left (\ frac {1} {s ^ 3} \ right) = \ frac {1} {s ^ 3 ( sT + 1)} $$
Haz fracciones parciales de $ C (s) $.
$$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3 (sT + 1)} = \ frac {A} {s ^ 3} + \ frac {B} {s ^ 2} + \ frac {C} {s} + \ frac {D} {sT + 1} $$
Después de simplificar, obtendrás los valores de A, B, C y D como 1, $ -T, \: T ^ 2 \: y \: −T ^ 3 $ respectivamente. Sustituya estos valores en la expansión de fracción parcial anterior de C (s).
$ C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 3} {sT + 1 } \: \ Flecha derecha C (s) = \ frac {1} {s ^ 3} - \ frac {T} {s ^ 2} + \ frac {T ^ 2} {s} - \ frac {T ^ 2} {s + \ frac {1} {T}} $
Aplicar la transformada de Laplace inversa en ambos lados.
$$ c (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2-T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} \ right ) u (t) $$
los unit parabolic response, c (t) tiene los términos transitorio y de estado estacionario.
El término transitorio en la respuesta parabólica unitaria es
$$ C_ {tr} (t) = - T ^ 2e ^ {- \ left (\ frac {t} {T} \ right)} u (t) $$
El término de estado estacionario en la respuesta parabólica unitaria es
$$ C_ {ss} (t) = \ left (\ frac {t ^ 2} {2} -Tt + T ^ 2 \ right) u (t) $$
A partir de estas respuestas, podemos concluir que los sistemas de control de primer orden no son estables con las entradas de rampa y parabólicas porque estas respuestas continúan aumentando incluso en una cantidad de tiempo infinita. Los sistemas de control de primer orden son estables con entradas de impulso y paso porque estas respuestas tienen salida limitada. Pero la respuesta al impulso no tiene un término de estado estable. Entonces, la señal de paso se usa ampliamente en el dominio del tiempo para analizar los sistemas de control a partir de sus respuestas.