Especificaciones del dominio del tiempo

En este capítulo, analicemos las especificaciones en el dominio del tiempo del sistema de segundo orden. La respuesta escalonada del sistema de segundo orden para el caso subamortiguado se muestra en la siguiente figura.

Todas las especificaciones del dominio del tiempo están representadas en esta figura. La respuesta hasta el tiempo de estabilización se conoce como respuesta transitoria y la respuesta después del tiempo de estabilización se conoce como respuesta de estado estable.

Tiempo de retardo

Es el tiempo necesario para que la respuesta alcance half of its final valuedesde el instante cero. Se denota con $ t_d $.

Considere la respuesta escalonada del sistema de segundo orden para t ≥ 0, cuando 'δ' se encuentra entre cero y uno.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

El valor final de la respuesta al escalón es uno.

Por lo tanto, en $ t = t_d $, el valor de la respuesta al escalón será 0.5. Sustituya estos valores en la ecuación anterior.

$$ c (t_d) = 0.5 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_d}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_d + \ theta) = 0.5 $$

Al usar la aproximación lineal, obtendrá el delay time t_d como

$$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $$

Hora de levantarse

Es el tiempo necesario para que la respuesta se eleve de 0% to 100% of its final value. Esto es aplicable paraunder-damped systems. Para los sistemas sobreamortiguados, considere la duración del 10% al 90% del valor final. El tiempo de subida se denota port_r.

En t = t ₁ = 0, c (t) = 0.

Sabemos que el valor final de la respuesta escalonada es uno.

Por lo tanto, en $ t = t_2 $, el valor de la respuesta al escalón es uno. Sustituya estos valores en la siguiente ecuación.

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

$$ c (t_2) = 1 = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) $$

$$ \ Rightarrow \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_2}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Flecha derecha \ sin (\ omega_dt_2 + \ theta) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_2 + \ theta = \ pi $$

$$ \ Rightarrow t_2 = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

Sustituya los valores t ₁ y t ₂ en la siguiente ecuación derise time,

$$ t_r = t_2-t_1 $$

$$ \ por lo tanto \: t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $$

De la ecuación anterior, podemos concluir que el tiempo de subida $ t_r $ y la frecuencia amortiguada $ \ omega_d $ son inversamente proporcionales entre sí.

Hora pico

Es el tiempo necesario para que la respuesta llegue al peak valuepor primera vez. Se denota por $ t_p $. En $ t = t_p $, la primera derivada de la respuesta es cero.

Sabemos que la respuesta escalonada del sistema de segundo orden para casos con amortiguación insuficiente es

$$ c (t) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Diferenciar $ c (t) $ con respecto a 't'.

$$ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ omega_d \ cos (\ omega_dt + \ theta) - \ left (\ frac {- \ delta \ omega_ne ^ {- \ delta \ omega_nt}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ derecha) \ sin (\ omega_dt + \ theta) $$

Sustituye $ t = t_p $ y $ \ frac {\ text {d} c (t)} {\ text {d} t} = 0 $ en la ecuación anterior.

$$ 0 = - \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ left [\ omega_d \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) \ right] $$

$$ \ Flecha derecha \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ omega_n \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Flecha derecha \ sqrt {1- \ delta ^ 2} \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ delta \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Flecha derecha \ sin (\ theta) \ cos (\ omega_dt_p + \ theta) - \ cos (\ theta) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) = 0 $$

$$ \ Flecha derecha \ sin (\ theta- \ omega_dt_p- \ theta) = 0 $$

$$ \ Flecha derecha sin (- \ omega_dt_p) = 0 \ Flecha derecha - \ sin (\ omega_dt_p) = 0 \ Flecha derecha sin (\ omega_dt_p) = 0 $$

$$ \ Rightarrow \ omega_dt_p = \ pi $$

$$ \ Flecha derecha t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $$

De la ecuación anterior, podemos concluir que el tiempo pico $ t_p $ y la frecuencia amortiguada $ \ omega_d $ son inversamente proporcionales entre sí.

Sobrepaso de pico

Sobrepaso pico M_pse define como la desviación de la respuesta en el momento pico del valor final de respuesta. También se llamamaximum overshoot.

Matemáticamente, podemos escribirlo como

$$ M_p = c (t_p) -c (\ infty) $$

Dónde,

c (t _p ) es el valor máximo de la respuesta.

c (∞) es el valor final (estado estable) de la respuesta.

En $ t = t_p $, la respuesta c (t) es -

$$ c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_nt_p}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin (\ omega_dt_p + \ theta) $$

Sustituya $ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $ en el lado derecho de la ecuación anterior.

$$ c (t_P) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ delta \ omega_n \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right)}} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) \ sin \ left (\ omega_d \ left (\ frac {\ pi} {\ omega_d} \ right) + \ theta \ right) $$

$$ \ Rightarrow c (t_p) = 1- \ left (\ frac {e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)}} { \ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right) (- \ sin (\ theta)) $$

Lo sabemos

$$ \ sin (\ theta) = \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Entonces, obtendremos $ c (t_p) $ como

$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Sustituya los valores de $ c (t_p) $ y $ c (\ infty) $ en la ecuación de sobreimpulso pico.

$$ M_p = 1 + e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} - ​​1 $$

$$ \ Rightarrow M_p = e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} $$

Percentage of peak overshoot % $ M_p $ se puede calcular usando esta fórmula.

$$ \% M_p = \ frac {M_p} {c (\ infty)} \ times 100 \% $$

Sustituyendo los valores de $ M_p $ y $ c (\ infty) $ en la fórmula anterior, obtendremos el porcentaje de sobrepaso máximo $ \% M_p $ como

$$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $$

De la ecuación anterior, podemos concluir que el porcentaje de sobreimpulso máximo $ \% M_p $ disminuirá si aumenta la relación de amortiguamiento $ \ delta $.

Tiempo de estabilización

Es el tiempo necesario para que la respuesta alcance el estado estable y se mantenga dentro de las bandas de tolerancia especificadas alrededor del valor final. En general, las bandas de tolerancia son del 2% y el 5%. El tiempo de estabilización se indica con $ t_s $.

El tiempo de estabilización para la banda de tolerancia del 5% es:

$$ t_s = \ frac {3} {\ delta \ omega_n} = 3 \ tau $$

El tiempo de estabilización para la banda de tolerancia del 2% es -

$$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} = 4 \ tau $$

Donde, $ \ tau $ es la constante de tiempo y es igual a $ \ frac {1} {\ delta \ omega_n} $.

• Tanto el tiempo de estabilización $ t_s $ como la constante de tiempo $ \ tau $ son inversamente proporcionales a la razón de amortiguamiento $ \ delta $.

• Tanto el tiempo de estabilización $ t_s $ como la constante de tiempo $ \ tau $ son independientes de la ganancia del sistema. Eso significa que incluso la ganancia del sistema cambia, el tiempo de establecimiento $ t_s $ y la constante de tiempo $ \ tau $ nunca cambiarán.

Ejemplo

Encontremos ahora las especificaciones en el dominio del tiempo de un sistema de control que tiene la función de transferencia de lazo cerrado $ \ frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $ cuando la señal de paso unitario se aplica como entrada a este sistema de control.

Sabemos que la forma estándar de la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden es

$$ \ frac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ delta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} $$

Al equiparar estas dos funciones de transferencia, obtendremos la frecuencia natural no amortiguada $ \ omega_n $ como 2 rad / seg y la relación de amortiguamiento $ \ delta $ como 0,5.

Conocemos la fórmula para la frecuencia amortiguada $ \ omega_d $ como

$$ \ omega_d = \ omega_n \ sqrt {1- \ delta ^ 2} $$

Sustituya los valores $ \ omega_n $ y $ \ delta $ en la fórmula anterior.

$$ \ Flecha derecha \ omega_d = 2 \ sqrt {1- (0.5) ^ 2} $$

$$ \ Rightarrow \ omega_d = 1.732 \: rad / seg $$

Sustituir, $ \ delta $ valor en la siguiente relación

$$ \ theta = \ cos ^ {- 1} \ delta $$

$$ \ Flecha derecha \ theta = \ cos ^ {- 1} (0.5) = \ frac {\ pi} {3} \: rad $$

Sustituya los valores necesarios anteriores en la fórmula de cada especificación del dominio del tiempo y simplifique para obtener los valores de las especificaciones del dominio del tiempo para una función de transferencia dada.

La siguiente tabla muestra las fórmulas de las especificaciones en el dominio del tiempo, la sustitución de los valores necesarios y los valores finales.

Especificación de dominio de tiempo	Fórmula	Sustitución de valores en fórmula	Valor final
Tiempo de retardo	$ t_d = \ frac {1 + 0.7 \ delta} {\ omega_n} $	$ t_d = \ frac {1 + 0.7 (0.5)} {2} $	$ t_d $ = 0,675 segundos
Hora de levantarse	$ t_r = \ frac {\ pi- \ theta} {\ omega_d} $	$ t_r = \ frac {\ pi - (\ frac {\ pi} {3})} {1.732} $	$ t_r $ = 1.207 segundos
Hora pico	$ t_p = \ frac {\ pi} {\ omega_d} $	$ t_p = \ frac {\ pi} {1.732} $	$ t_p $ = 1.813 segundos
% Rebasamiento de pico	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {\ delta \ pi} {\ sqrt {1- \ delta ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% M_p = \ left (e ^ {- \ left (\ frac {0.5 \ pi} {\ sqrt {1- (0.5) ^ 2}} \ right)} \ right) \ times 100 \% $	$ \% \: M_p $ = 16,32%
Tiempo de estabilización para banda de tolerancia del 2%	$ t_s = \ frac {4} {\ delta \ omega_n} $	$ t_S = \ frac {4} {(0.5) (2)} $	$ t_s $ = 4 segundos