Fórmula de ganancia de Mason

Analicemos ahora la fórmula de ganancia de Mason. Suponga que hay 'N' rutas de avance en un gráfico de flujo de señales. La ganancia entre los nodos de entrada y salida de un gráfico de flujo de señal no es más que latransfer functiondel sistema. Puede calcularse utilizando la fórmula de ganancia de Mason.

Mason’s gain formula is

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ N _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

Dónde,

• C(s) es el nodo de salida

• R(s) es el nodo de entrada

• T es la función de transferencia o ganancia entre $ R (s) $ y $ C (s) $

• P_ies la ^iésima ganancia de la ruta de avance

$ \ Delta = 1- (suma \: de \: todas \: ganancias \: bucle \: individuales) $

$ + (suma \: de \: ganancia \: productos \: de \: todos \: posibles \: dos \: bucles \: sin tocar \:) $

$$ - (suma \: de \: ganancia \: productos \: de \: todos \: posibles \: tres \: bucles \: no tocantes \: + ... $$

Δ _i se obtiene a partir de Δ eliminando los bucles que tocan el i ^ésimo camino hacia adelante .

Considere el siguiente gráfico de flujo de señales para comprender la terminología básica involucrada aquí.

Camino

Es un cruce de ramas de un nodo a cualquier otro nodo en la dirección de las flechas de rama. No debe atravesar ningún nodo más de una vez.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 $ y $ y_5 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $

Camino hacia adelante

La ruta que existe desde el nodo de entrada al nodo de salida se conoce como forward path.

Examples - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ y $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

Ganancia de camino hacia adelante

Se obtiene calculando el producto de todas las ganancias de rama de la ruta de avance.

Examples - $ abcde $ es la ganancia de la ruta de avance de $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $ y abge es la ganancia de la ruta de avance de $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5_6 \ rightarrow PS

Lazo

La ruta que comienza en un nodo y termina en el mismo nodo se conoce como loop. Por tanto, es un camino cerrado.

Examples - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ y $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Ganancia de bucle

Se obtiene calculando el producto de todas las ganancias de rama de un bucle.

Examples - $ b_j $ es la ganancia de bucle de $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ y $ g_h $ es la ganancia de bucle de $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $.

Bucles que no se tocan

Estos son los bucles, que no deberían tener ningún nodo común.

Examples - Los bucles, $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $ y $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $ no se tocan.

Cálculo de la función de transferencia utilizando la fórmula de ganancia de Mason

Consideremos el mismo gráfico de flujo de señal para encontrar la función de transferencia.

• Número de trayectos hacia adelante, N = 2.

• La primera ruta de avance es - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

• Ganancia de la primera ruta de avance, $ p_1 = abcde $.

• La segunda ruta de avance es - $ y_1 \ rightarrow y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_6 $.

• Ganancia de la segunda ruta de avance, $ p_2 = abge $.

• Número de bucles individuales, L = 5.

• Los ciclos son - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_3 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_3 \ rightarrow y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_3 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_5 y_5 $.

• Las ganancias de bucle son - $ l_1 = bj $, $ l_2 = gh $, $ l_3 = cdh $, $ l_4 = di $ y $ l_5 = f $.

• Número de dos bucles que no se tocan = 2.

• El primer par de bucles que no se tocan es - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_4 \ rightarrow y_5 \ rightarrow y_4 $.

• Obtenga el producto del primer par de bucles que no se tocan, $ l_1l_4 = bjdi $

• El segundo par de bucles que no se tocan es - $ y_2 \ rightarrow y_3 \ rightarrow y_2 $, $ y_5 \ rightarrow y_5 $.

• El producto de ganancia del segundo par de bucles que no se tocan es - $ l_1l_5 = bjf $

En este gráfico de flujo de señal no hay un número mayor de (más de dos) bucles sin contacto.

Sabemos,

$ \ Delta = 1- (suma \: de \: todas \: ganancias \: bucle \: individuales) $

$ + (suma \: de \: ganancia \: productos \: de \: todos \: posibles \: dos \: bucles \: sin tocar \:) $

$$ - (suma \: de \: ganancia \: productos \: de \: todos \: posibles \: tres \: bucles \: no tocantes \: + ... $$

Sustituye los valores en la ecuación anterior,

$ \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + (bjdi + bjf) - (0) $

$ \ Flecha derecha \ Delta = 1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf $

No hay ningún bucle que no toque la primera ruta de avance.

Entonces, $ \ Delta_1 = 1 $.

Del mismo modo, $ \ Delta_2 = 1 $. Dado que, no hay bucle que no toque el segundo camino hacia adelante.

Sustituir, N = 2 en la fórmula de ganancia de Mason

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {\ Sigma ^ 2 _ {i = 1} P_i \ Delta _i} {\ Delta} $$

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {P_1 \ Delta_1 + P_2 \ Delta_2} {\ Delta} $$

Sustituye todos los valores necesarios en la ecuación anterior.

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) 1+ (abge) 1} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

$$ \ Flecha derecha T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf } $$

Por lo tanto, la función de transferencia es:

$$ T = \ frac {C (s)} {R (s)} = \ frac {(abcde) + (abge)} {1- (bj + gh + cdh + di + f) + bjdi + bjf} $ PS