Sistemas de control: gráficos polares
En los capítulos anteriores, discutimos los diagramas de Bode. Allí, tenemos dos gráficos separados para la magnitud y la fase como función de la frecuencia. Analicemos ahora las parcelas polares. La gráfica polar es una gráfica que se puede dibujar entre magnitud y fase. Aquí, las magnitudes están representadas solo por valores normales.
La forma polar de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ es
$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = | G (j \ omega) H (j \ omega) | \ ángulo G (j \ omega) H (j \ omega) $$
los Polar plotes una gráfica que se puede dibujar entre la magnitud y el ángulo de fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ variando $ \ omega $ de cero a ∞. La hoja del gráfico polar se muestra en la siguiente figura.
Esta hoja gráfica consta de círculos concéntricos y líneas radiales. losconcentric circles y el radial linesrepresentan las magnitudes y los ángulos de fase respectivamente. Estos ángulos están representados por valores positivos en sentido antihorario. De manera similar, podemos representar ángulos con valores negativos en el sentido de las agujas del reloj. Por ejemplo, el ángulo 270 0 en anti-sentido de las agujas del reloj es igual al ángulo de -90 0 en la dirección de las agujas del reloj.
Reglas para dibujar gráficos polares
Siga estas reglas para trazar las gráficas polares.
Sustituya, $ s = j \ omega $ en la función de transferencia de bucle abierto.
Escribe las expresiones para la magnitud y la fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $.
Encuentre la magnitud inicial y la fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ sustituyendo $ \ omega = 0 $. Entonces, la gráfica polar comienza con esta magnitud y el ángulo de fase.
Encuentre la magnitud final y la fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ sustituyendo $ \ omega = \ infty $. Entonces, la gráfica polar termina con esta magnitud y el ángulo de fase.
Compruebe si la gráfica polar se cruza con el eje real, haciendo que el término imaginario de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ sea igual a cero y encuentre el valor o valores de $ \ omega $.
Compruebe si la gráfica polar se cruza con el eje imaginario, haciendo que el término real de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ sea igual a cero y encuentre el valor o valores de $ \ omega $.
Para dibujar un diagrama polar con mayor claridad, encuentre la magnitud y la fase de $ G (j \ omega) H (j \ omega) $ considerando los otros valores de $ \ omega $.
Ejemplo
Considere la función de transferencia de bucle abierto de un sistema de control de bucle cerrado.
$$ G (s) H (s) = \ frac {5} {s (s + 1) (s + 2)} $$
Dibujemos la gráfica polar para este sistema de control usando las reglas anteriores.
Step 1 - Sustituya, $ s = j \ omega $ en la función de transferencia de bucle abierto.
$$ G (j \ omega) H (j \ omega) = \ frac {5} {j \ omega (j \ omega + 1) (j \ omega + 2)} $$
La magnitud de la función de transferencia de bucle abierto es
$$ M = \ frac {5} {\ omega (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 1}) (\ sqrt {\ omega ^ 2 + 4})} $$
El ángulo de fase de la función de transferencia de bucle abierto es
$$ \ phi = -90 ^ 0- \ tan ^ {- 1} \ omega- \ tan ^ {- 1} \ frac {\ omega} {2} $$
Step 2 - La siguiente tabla muestra la magnitud y el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto en $ \ omega = 0 $ rad / sec y $ \ omega = \ infty $ rad / sec.
| Frecuencia (rad / seg) | Magnitud | Ángulo de fase (grados) |
|---|---|---|
| 0 | ∞ | -90 o 270 |
| ∞ | 0 | -270 o 90 |
Entonces, la gráfica polar comienza en (∞, −90 0 ) y termina en (0, −270 0 ). Los términos primero y segundo dentro de los corchetes indican la magnitud y el ángulo de fase respectivamente.
Step 3- Basado en las coordenadas polares inicial y final, esta gráfica polar intersecará el eje real negativo. El ángulo de fase correspondiente al eje real negativo es -180 0 o 180 0 . Entonces, al igualar el ángulo de fase de la función de transferencia de lazo abierto a −180 0 o 180 0 , obtendremos el valor $ \ omega $ como $ \ sqrt {2} $.
Sustituyendo $ \ omega = \ sqrt {2} $ en la magnitud de la función de transferencia de bucle abierto, obtendremos $ M = 0.83 $. Por lo tanto, la gráfica polar interseca el eje real negativo cuando $ \ omega = \ sqrt {2} $ y la coordenada polar es (0.83, −180 0 ).
Entonces, podemos dibujar el diagrama polar con la información anterior en la hoja del gráfico polar.