Construcción del lugar de las raíces

los root locuses una representación gráfica en el dominio s y es simétrica con respecto al eje real. Porque los polos y ceros de bucle abierto existen en el dominio s que tienen los valores como pares conjugados reales o complejos. En este capítulo, analicemos cómo construir (dibujar) el lugar de las raíces.

Reglas para la construcción del lugar de las raíces

Siga estas reglas para construir un lugar de raíces.

Rule 1 - Localice los polos y ceros de bucle abierto en el plano 's'.

Rule 2 - Calcula el número de ramas del lugar de las raíces.

Sabemos que las ramas del lugar de las raíces comienzan en los polos de bucle abierto y terminan en ceros de bucle abierto. Entonces, el número de ramas del lugar de las raícesN es igual al número de polos finitos de bucle abierto P o el número de ceros de bucle abierto finitos Z, el que sea mayor.

Matemáticamente, podemos escribir el número de ramas del lugar de las raíces N como

$ N = P $ si $ P \ geq Z $

$ N = Z $ si $ P <Z $

Rule 3 - Identificar y dibujar el real axis root locus branches.

Si el ángulo de la función de transferencia de lazo abierto en un punto es un múltiplo impar de 180 ⁰ , entonces ese punto está en el lugar de las raíces. Si existe un número impar de polos y ceros en bucle abierto en el lado izquierdo de un punto en el eje real, entonces ese punto está en la rama del lugar de las raíces. Por tanto, la rama de puntos que satisface esta condición es el eje real de la rama del lugar de las raíces.

Rule 4 - Encuentra el centroide y el ángulo de las asíntotas.

• Si $ P = Z $, entonces todas las ramas del lugar de las raíces comienzan en polos finitos de lazo abierto y terminan en ceros finitos de lazo abierto.

• Si $ P> Z $, entonces $ Z $ número de ramas del lugar de raíces comienzan en polos finitos de lazo abierto y terminan en ceros finitos de lazo abierto y $ P - Z $ número de ramas del lugar de raíces comienzan en polos finitos de lazo abierto y terminan en infinito ceros de bucle abierto.

• Si $ P <Z $, entonces el número P de ramas del lugar de las raíces comienza en polos finitos de lazo abierto y termina en ceros finitos de lazo abierto y $ Z - P $ número de ramas del lugar de raíces comienza en infinitos polos de lazo abierto y termina en un lazo abierto finito ceros.

Entonces, algunas de las ramas del lugar de las raíces se acercan al infinito, cuando $ P \ neq Z $. Las asíntotas dan la dirección de estas ramas del lugar de las raíces. El punto de intersección de las asíntotas en el eje real se conoce comocentroid.

Podemos calcular el centroid α al usar esta fórmula,

$ \ alpha = \ frac {\ sum Real \: parte \: de \: bucle \: finito \: abierto \: polos \: - \ sum Real \: parte \: de \: finito \: bucle \: abierto \ : ceros} {PZ} $

La fórmula para el ángulo de asymptotes θ es

$$ \ theta = \ frac {(2q + 1) 180 ^ 0} {PZ} $$

Dónde,

$$ q = 0,1,2, ...., (PZ) -1 $$

Rule 5 - Encontrar los puntos de intersección de las ramas del lugar de las raíces con un eje imaginario.

Podemos calcular el punto en el que la rama del lugar de las raíces se cruza con el eje imaginario y el valor de K en ese punto utilizando el método de matriz de Routh y especial case (ii).

• Si todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero, entonces la rama del lugar de las raíces se cruza con el eje imaginario y viceversa.

• Identifique la fila de tal manera que si hacemos que el primer elemento sea cero, entonces los elementos de toda la fila sean cero. Encuentra el valor deK para esta combinación.

• Sustituye esto Kvalor en la ecuación auxiliar. Obtendrá el punto de intersección de la rama del lugar de las raíces con un eje imaginario.

Rule 6 - Encuentra puntos de ruptura y robo.

• Si existe una rama del lugar geométrico de la raíz del eje real entre dos polos de bucle abierto, entonces habrá una break-away point entre estos dos polos de bucle abierto.

• Si existe una rama del lugar de las raíces del eje real entre dos ceros de bucle abierto, entonces habrá una break-in point entre estos dos ceros de bucle abierto.

Note - Los puntos de ruptura y ruptura existen solo en las ramas del lugar de las raíces del eje real.

Siga estos pasos para encontrar puntos de ruptura y allanamiento.

• Escriba $ K $ en términos de $ s $ a partir de la ecuación característica $ 1 + G (s) H (s) = 0 $.

• Diferencie $ K $ con respecto a sy hágalo igual a cero. Sustituye estos valores de $ s $ en la ecuación anterior.

• Los valores de $ s $ para los que el valor de $ K $ es positivo son los break points.

Rule 7 - Encuentra el ángulo de salida y el ángulo de llegada.

El ángulo de salida y el ángulo de llegada se pueden calcular en polos de bucle abierto conjugados complejos y ceros de bucle abierto conjugados complejos, respectivamente.

La frmula para el angle of departure $ \ phi_d $ es

$$ \ phi_d = 180 ^ 0- \ phi $$

La frmula para el angle of arrival $ \ phi_a $ es

$$ \ phi_a = 180 ^ 0 + \ phi $$

Dónde,

$$ \ phi = \ sum \ phi_P- \ sum \ phi_Z $$

Ejemplo

Dibujemos ahora el lugar de las raíces del sistema de control que tiene la función de transferencia de bucle abierto, $ G (s) H (s) = \ frac {K} {s (s + 1) (s + 5)} $

Step 1- La función de transferencia de lazo abierto dada tiene tres polos en $ s = 0, s = −1 $ y $ s = −5 $. No tiene cero. Por lo tanto, el número de ramas del lugar de las raíces es igual al número de polos de la función de transferencia de bucle abierto.

$$ N = P = 3 $$

Los tres polos que se encuentran se muestran en la figura anterior. El segmento de línea entre $ s = −1 $ y $ s = 0 $ es una rama del lugar de las raíces en el eje real. Y la otra rama del lugar de las raíces en el eje real es el segmento de línea a la izquierda de $ s = −5 $.

Step 2 - Obtendremos los valores del centroide y el ángulo de las asíntotas usando las fórmulas dadas.

Centroide $ \ alpha = −2 $

El ángulo de las asíntotas es $ \ theta = 60 ^ 0,180 ^ 0 $ y $ 300 ^ 0 $.

El centroide y las tres asíntotas se muestran en la siguiente figura.

Step 3- Dado que dos asíntotas tienen los ángulos de $ 60 ^ 0 $ y $ 300 ^ 0 $, dos ramas del lugar de las raíces intersecan el eje imaginario. Al usar el método de matriz de Routh y el caso especial (ii), las ramas del lugar de las raíces intersecan el eje imaginario en $ j \ sqrt {5} $ y $ −j \ sqrt {5} $.

Habrá un punto de ruptura en la rama del lugar de las raíces del eje real entre los polos $ s = −1 $ y $ s = 0 $. Siguiendo el procedimiento dado para el cálculo del punto de ruptura, lo obtendremos como $ s = −0.473 $.

El diagrama del lugar de las raíces para el sistema de control dado se muestra en la siguiente figura.

De esta manera, puede dibujar el diagrama del lugar de las raíces de cualquier sistema de control y observar el movimiento de los polos de la función de transferencia de bucle cerrado.

A partir de los diagramas del lugar de las raíces, podemos conocer el rango de valores de K para diferentes tipos de amortiguamiento.

Efectos de agregar polos y ceros de bucle abierto en el lugar de las raíces

El lugar de las raíces se puede cambiar en ‘s’ plane agregando los polos de bucle abierto y los ceros de bucle abierto.

• Si incluimos un polo en la función de transferencia de bucle abierto, algunas de las ramas del lugar de las raíces se moverán hacia la mitad derecha del plano 's'. Debido a esto, la razón de amortiguamiento $ \ delta $ disminuye. Lo que implica que la frecuencia amortiguada $ \ omega_d $ aumenta y las especificaciones del dominio del tiempo como el tiempo de retraso $ t_d $, el tiempo de subida $ t_r $ y el tiempo pico $ t_p $ disminuyen. Pero, afecta la estabilidad del sistema.

• Si incluimos un cero en la función de transferencia de bucle abierto, algunas de las ramas del lugar de las raíces se moverán hacia la mitad izquierda del plano 's'. Entonces, aumentará la estabilidad del sistema de control. En este caso, la razón de amortiguamiento $ \ delta $ aumenta. Lo que implica que la frecuencia amortiguada $ \ omega_d $ disminuye y las especificaciones del dominio de tiempo como el tiempo de retraso $ t_d $, el tiempo de subida $ t_r $ y el tiempo pico $ t_p $ aumentan.

Entonces, según el requisito, podemos incluir (agregar) los polos o ceros de bucle abierto a la función de transferencia.