Sistemas de control - Bode Plots
El diagrama de Bode o el diagrama de Bode consta de dos diagramas:
- Gráfico de magnitud
- Gráfico de fase
En ambos gráficos, el eje x representa la frecuencia angular (escala logarítmica). Considerando que, yaxis representa la magnitud (escala lineal) de la función de transferencia de bucle abierto en el gráfico de magnitud y el ángulo de fase (escala lineal) de la función de transferencia de bucle abierto en el gráfico de fase.
los magnitude de la función de transferencia de bucle abierto en dB es -
$$ M = 20 \: \ log | G (j \ omega) H (j \ omega) | $$
los phase angle de la función de transferencia de bucle abierto en grados es -
$$ \ phi = \ ángulo G (j \ omega) H (j \ omega) $$
Note - La base del logaritmo es 10.
Básicos de las parcelas de Bode
La siguiente tabla muestra los valores de pendiente, magnitud y ángulo de fase de los términos presentes en la función de transferencia de lazo abierto. Estos datos son útiles al dibujar los diagramas de Bode.
| Tipo de término | G (jω) H (jω) | Pendiente (dB / dec) | Magnitud (dB) | Ángulo de fase (grados) |
|---|---|---|---|---|
Constante |
$ K $ |
$ 0 $ |
$ 20 \ log K $ |
$ 0 $ |
Cero en origen |
$ j \ omega $ |
$ 20 $ |
$ 20 \ log \ omega $ |
$ 90 $ |
'n' ceros en el origen |
$ (j \ omega) ^ n $ |
$ 20 \: n $ |
$ 20 \: n \ log \ omega $ |
$ 90 \: n $ |
Polo en origen |
$ \ frac {1} {j \ omega} $ |
$ -20 $ |
$ -20 \ log \ omega $ |
$ -90 \: o \: 270 $ |
'n' polos en origen |
$ \ frac {1} {(j \ omega) ^ n} $ |
$ -20 \: n $ |
$ -20 \: n \ log \ omega $ |
$ -90 \: n \: o \: 270 \: n $ |
Cero simple |
$ 1 + j \ omega r $ |
$ 20 $ |
$ 0 \: por \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ 20 \: \ log \ omega r \: para \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
$ 0 \: por \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ 90 \: por \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
Polo simple |
$ \ frac {1} {1 + j \ omega r} $ |
$ -20 $ |
$ 0 \: por \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ -20 \: \ log \ omega r \: para \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
$ 0 \: por \: \ omega <\ frac {1} {r} $ $ -90 \: o \: 270 \: para \: \ omega> \ frac {1} {r} $ |
Término derivado de segundo orden |
$ \ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right) $ |
$ 40 $ |
$ 40 \: \ log \: \ omega_n \: para \: \ omega <\ omega_n $ $ 20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: para \: \ omega = \ omega_n $ $ 40 \: \ log \: \ omega \: para \: \ omega> \ omega_n $ |
$ 0 \: para \: \ omega <\ omega_n $ $ 90 \: por \: \ omega = \ omega_n $ $ 180 \: para \: \ omega> \ omega_n $ |
Término integral de segundo orden |
$ \ frac {1} {\ omega_n ^ 2 \ left (1- \ frac {\ omega ^ 2} {\ omega_n ^ 2} + \ frac {2j \ delta \ omega} {\ omega_n} \ right)} $ |
$ -40 $ |
$ -40 \: \ log \: \ omega_n \: para \: \ omega <\ omega_n $ $ -20 \: \ log \ :( 2 \ delta \ omega_n ^ 2) \: para \: \ omega = \ omega_n $ $ -40 \: \ log \: \ omega \: para \: \ omega> \ omega_n $ |
$ -0 \: para \: \ omega <\ omega_n $ $ -90 \: para \: \ omega = \ omega_n $ $ -180 \: para \: \ omega> \ omega_n $ |
Considere la función de transferencia de lazo abierto $ G (s) H (s) = K $.
Magnitud $ M = 20 \: \ log K $ dB
Ángulo de fase $ \ phi = 0 $ grados
Si $ K = 1 $, entonces la magnitud es 0 dB.
Si $ K> 1 $, entonces la magnitud será positiva.
Si $ K <1 $, entonces la magnitud será negativa.
La siguiente figura muestra el diagrama de Bode correspondiente.
La gráfica de magnitud es una línea horizontal, que es independiente de la frecuencia. La línea de 0 dB en sí es la gráfica de magnitud cuando el valor de K es uno. Para los valores positivos de K, la línea horizontal se desplazará $ 20 \: \ log K $ dB por encima de la línea de 0 dB. Para los valores negativos de K, la línea horizontal se desplazará $ 20 \: \ log K $ dB por debajo de la línea de 0 dB. La línea de cero grados en sí es la gráfica de fase para todos los valores positivos de K.
Considere la función de transferencia de lazo abierto $ G (s) H (s) = s $.
Magnitud $ M = 20 \ log \ omega $ dB
Ángulo de fase $ \ phi = 90 ^ 0 $
A $ \ omega = 0.1 $ rad / seg, la magnitud es -20 dB.
En $ \ omega = 1 $ rad / seg, la magnitud es 0 dB.
A $ \ omega = 10 $ rad / seg, la magnitud es 20 dB.
La siguiente figura muestra el diagrama de Bode correspondiente.
La gráfica de magnitud es una línea, que tiene una pendiente de 20 dB / dec. Esta línea comenzó en $ \ omega = 0.1 $ rad / seg con una magnitud de -20 dB y continúa en la misma pendiente. Está tocando la línea de 0 dB a $ \ omega = 1 $ rad / seg. En este caso, la gráfica de fase es una línea de 90 0 .
Considere la función de transferencia de lazo abierto $ G (s) H (s) = 1 + s \ tau $.
Magnitud $ M = 20 \: log \ sqrt {1 + \ omega ^ 2 \ tau ^ 2} $ dB
Ángulo de fase $ \ phi = \ tan ^ {- 1} \ omega \ tau $ grados
Para $ ω <\ frac {1} {\ tau} $, la magnitud es 0 dB y el ángulo de fase es 0 grados.
Para $ \ omega> \ frac {1} {\ tau} $, la magnitud es $ 20 \: \ log \ omega \ tau $ dB y el ángulo de fase es 90 0 .
La siguiente figura muestra el diagrama de Bode correspondiente.
La gráfica de magnitud tiene una magnitud de 0 dB hasta $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / seg. Desde $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / seg, tiene una pendiente de 20 dB / dec. En este caso, la gráfica de fase tiene un ángulo de fase de 0 grados hasta $ \ omega = \ frac {1} {\ tau} $ rad / sec y, a partir de aquí, tiene un ángulo de fase de 90 0 . Este diagrama de Bode se llamaasymptotic Bode plot.
Como las gráficas de magnitud y fase se representan con líneas rectas, las gráficas de Bode exactas se asemejan a las gráficas de Bode asintóticas. La única diferencia es que los diagramas de Bode exactos tendrán curvas simples en lugar de líneas rectas.
De manera similar, puede dibujar los diagramas de Bode para otros términos de la función de transferencia de bucle abierto que se dan en la tabla.