Sistemas de control: modelos matemáticos
Los sistemas de control se pueden representar con un conjunto de ecuaciones matemáticas conocidas como mathematical model. Estos modelos son útiles para el análisis y diseño de sistemas de control. El análisis del sistema de control significa encontrar la salida cuando conocemos la entrada y el modelo matemático. El diseño de un sistema de control significa encontrar el modelo matemático cuando conocemos la entrada y la salida.
Se utilizan principalmente los siguientes modelos matemáticos.
- Modelo de ecuación diferencial
- Modelo de función de transferencia
- Modelo de espacio de estados
Analicemos los dos primeros modelos en este capítulo.
Modelo de ecuación diferencial
El modelo de ecuación diferencial es un modelo matemático de sistemas de control en el dominio del tiempo. Siga estos pasos para el modelo de ecuación diferencial.
Aplicar leyes básicas al sistema de control dado.
Obtenga la ecuación diferencial en términos de entrada y salida eliminando la (s) variable (s) intermedia (s).
Ejemplo
Considere el siguiente sistema eléctrico como se muestra en la siguiente figura. Este circuito consta de resistencia, inductor y condensador. Todos estos elementos eléctricos están conectados enseries. El voltaje de entrada aplicado a este circuito es $ v_i $ y el voltaje a través del capacitor es el voltaje de salida $ v_o $.
La ecuación de malla para este circuito es
$$ v_i = Ri + L \ frac {\ text {d} i} {\ text {d} t} + v_o $$
Sustituya, la corriente que pasa por el capacitor $ i = c \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} $ en la ecuación anterior.
$$ \ Rightarrow \: v_i = RC \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + LC \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \ Rightarrow \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ text {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
La ecuación anterior es de segundo orden. differential equation.
Modelo de función de transferencia
El modelo de función de transferencia es un modelo matemático de sistemas de control de dominio s. losTransfer function de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI) se define como la relación entre la transformada de Laplace de salida y la transformada de Laplace de entrada asumiendo que todas las condiciones iniciales son cero.
Si $ x (t) $ y $ y (t) $ son la entrada y salida de un sistema LTI, entonces las transformadas de Laplace correspondientes son $ X (s) $ y $ Y (s) $.
Por lo tanto, la función de transferencia del sistema LTI es igual a la razón de $ Y (s) $ y $ X (s) $.
$$ es decir, \: Transfer \: Function = \ frac {Y (s)} {X (s)} $$
El modelo de función de transferencia de un sistema LTI se muestra en la siguiente figura.
Aquí, representamos un sistema LTI con un bloque que tiene una función de transferencia en su interior. Y este bloque tiene una entrada $ X (s) $ y una salida $ Y (s) $.
Ejemplo
Anteriormente, obtuvimos la ecuación diferencial de un sistema eléctrico como
$$ \ frac {\ text {d} ^ 2v_o} {\ text {d} t ^ 2} + \ left (\ frac {R} {L} \ right) \ frac {\ text {d} v_o} {\ texto {d} t} + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_o = \ left (\ frac {1} {LC} \ right) v_i $$
Aplicar la transformación de Laplace en ambos lados.
$$ s ^ 2V_o (s) + \ left (\ frac {sR} {L} \ right) V_o (s) + \ left (\ frac {1} {LC} \ right) V_o (s) = \ left ( \ frac {1} {LC} \ right) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ left \ {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC} \ right \} V_o (s) = \ left (\ frac { 1} {LC} \ derecha) V_i (s) $$
$$ \ Rightarrow \ frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \ frac {\ frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \ left (\ frac {R} {L} \ right) s + \ frac {1} {LC}} $$
Dónde,
$ v_i (s) $ es la transformada de Laplace del voltaje de entrada $ v_i $
$ v_o (s) $ es la transformada de Laplace del voltaje de salida $ v_o $
La ecuación anterior es una transfer functiondel sistema eléctrico de segundo orden. El modelo de función de transferencia de este sistema se muestra a continuación.
Aquí mostramos un sistema eléctrico de segundo orden con un bloque que tiene la función de transferencia en su interior. Y este bloque tiene una entrada $ V_i (s) $ y una salida $ V_o (s) $.