Teoría de redes: respuesta de circuitos de CC

Si la salida de un circuito eléctrico para una entrada varía con respecto al tiempo, entonces se llama como time response. La respuesta temporal consta de las siguientes dos partes.

• Respuesta transitoria
• Respuesta de estado estacionario

En este capítulo, primero analicemos estas dos respuestas y luego observemos estas dos respuestas en un circuito RL en serie, cuando es excitado por una fuente de voltaje de CC.

Respuesta transitoria

Después de aplicar una entrada a un circuito eléctrico, la salida tarda cierto tiempo en alcanzar el estado estable. Entonces, la salida estará en estado transitorio hasta que pase a un estado estable. Por lo tanto, la respuesta del circuito eléctrico durante el estado transitorio se conoce comotransient response.

La respuesta transitoria será cero para valores grandes de 't'. Idealmente, este valor de 't' debería ser infinito. Pero, practicamentefive time constants Son suficientes.

Presencia o ausencia de transitorios

Los transitorios ocurren en la respuesta debido a sudden changeen las fuentes que se aplican al circuito eléctrico y / o por acción de conmutación. Hay dos posibles acciones de conmutación. Esos son el interruptor de apertura y el interruptor de cierre.

• los transient parte voluntad not presenten la respuesta de un circuito o red eléctrica, si solo contiene resistencias. Porqueresistor tiene la capacidad de ajustar cualquier cantidad de voltaje y corriente.

• los transient part occurs en la respuesta de un circuito o red eléctrica debido a la presencia de elementos de almacenamiento de energía como inductor and capacitor. Porque no pueden cambiar instantáneamente la energía almacenada en esos elementos.

Comportamiento del inductor

Suponga que la acción de conmutación tiene lugar en t = 0.Inductor currentno cambia instantáneamente, cuando tiene lugar la acción de conmutación. Eso significa que el valor de la corriente del inductor justo después de la acción de conmutación será el mismo que el de justo antes de la acción de conmutación.

Matemáticamente, se puede representar como

$$ i_L (0 ^ +) = i_L (0 ^ -) $$

Comportamiento del condensador

los capacitor voltageno cambia instantáneamente de manera similar a la corriente del inductor, cuando tiene lugar la acción de conmutación. Eso significa que el valor del voltaje del capacitor justo después de la acción de conmutación será el mismo que el de justo antes de la acción de conmutación.

Matemáticamente, se puede representar como

$$ v_c (0 ^ +) = v_c (0 ^ -) $$

Respuesta de estado estacionario

La parte de la respuesta de tiempo que permanece incluso después de que la respuesta transitoria se ha convertido en un valor cero para valores grandes de 't' se conoce como steady state response. Esto significa que no habrá ninguna parte transitoria en la respuesta durante el estado estable.

Comportamiento del inductor

Si la fuente independiente está conectada al circuito o red eléctrica que tiene uno o más inductores y resistencias (opcional) durante un tiempo prolongado, se dice que ese circuito o red eléctrica está en estado estable. Por lo tanto, la energía almacenada en el inductor (es) de ese circuito eléctrico es máxima y constante.

Matemáticamente, se puede representar como

$ W_L = \ frac {L {i_L} ^ 2} {2} = $ Máximo y constante

$ \ Rightarrow i_L = $ Máximo y constante

Por lo tanto, el inductor actúa como constant current source en estado estacionario.

El voltaje a través del inductor será

$$ V_L = L \ frac {di_ {L}} {dt} = 0V $$

Entonces, el inductor actúa como un short circuit en estado estacionario.

Comportamiento del condensador

Si la fuente independiente está conectada al circuito o red eléctrica que tiene uno o más condensadores y resistencias (opcional) durante mucho tiempo, se dice que ese circuito o red eléctrica está en estado estable. Por tanto, la energía almacenada en el (los) condensador (es) de ese circuito eléctrico es máxima y constante.

Matemáticamente, se puede representar como

$ W_c = \ frac {C {v_c} ^ 2} {2} = $ Máximo y constante

$ \ Rightarrow v_c = $ Máximo y constante

Por lo tanto, el condensador actúa como constant voltage source en estado estacionario.

La corriente que fluye a través del condensador será

$$ i_c = C \ frac {dv_c} {dt} = 0A $$

Entonces, el capacitor actúa como un open circuit en estado estacionario.

Encontrar la respuesta del circuito serie RL

Considera lo siguiente series RL circuit diagrama.

En el circuito anterior, el switch se mantuvo openhasta t = 0 y se cerró en t = 0. Entonces, la fuente de voltaje de CC que tiene V voltios no está conectada al circuito en serie RL hasta este instante. Por lo tanto, hayno initial current fluye a través del inductor.

El diagrama del circuito, cuando el switch es en closed La posición se muestra en la siguiente figura.

Ahora, la corriente i fluye en todo el circuito, ya que la fuente de voltaje DC tiene V voltios está conectado al circuito RL en serie.

Ahora aplica KVL alrededor del bucle.

$$ V = Ri + L \ frac {di} {dt} $$

$ \ frac {di} {dt} + \ lgrupo \ frac {R} {L} \ rgrupo i = \ frac {V} {L} $Equation 1

La ecuación anterior es una ecuación diferencial de primer orden y tiene la forma de

$ \ frac {dy} {dt} + Py = Q $Equation 2

Por comparing Ecuación 1 y Ecuación 2, obtendremos las siguientes relaciones.

$$ x = t $$

$$ y = i $$

$$ P = \ frac {R} {L} $$

$$ Q = \ frac {V} {L} $$

los solution de la Ecuación 2 será

$ ye ^ {\ int p dx} = \ int Q e ^ {\ int p dx} dx + k $Equation 3

Dónde, k es la constante.

Sustituya los valores de x, y, P y Q en la Ecuación 3.

$ ie ^ {\ int {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} dt} = \ int (\ frac {V} {L}) \ lgroup e ^ {\ int {\ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} dt} \ rgroup dt + k $

$ \ Flecha derecha, es decir, ^ {\ lgrupo \ frac {R} {L} \ rgrupo t} = \ frac {V} {L} \ int e ^ {\ lgrupo \ frac {R} {L} \ rgrupo t} dt + k $

$ \ Flecha derecha, es decir, ^ {\ lgrupo \ frac {R} {L} \ rgrupo t} = \ frac {V} {L} \ lbrace \ frac {e ^ {\ lgrupo \ frac {R} {L} \ rgrupo} t} {\ frac {R} {L}} \ rbrace + k $

$ \ Flecha derecha i = \ frac {V} {R} + ke ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup} t $Equation 4

Sabemos que no hay corriente inicial en el circuito. Por lo tanto, sustituya, t = 0 y = 0 en la Ecuación 4 para encontrar el valor de la constante k.

$$ 0 = \ frac {V} {R} + ke ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup (0)} $$

$$ 0 = \ frac {V} {R} + k (1) $$

$$ k = - \ frac {V} {R} $$

Sustituya el valor de k en la Ecuación 4.

$$ i = \ frac {V} {R} + \ lgroup - \ frac {V} {R} \ rgroup e ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} $$

$$ i = \ frac {V} {R} - \ frac {V} {R} e ^ {- \ lgrupo \ frac {R} {L} \ rgrupo t} $$

Por lo tanto, los current fluyendo a través del circuito es

$ i = - \ frac {V} {R} e ^ {- \ lgrupo \ frac {R} {L} \ rgrupo t} + \ frac {V} {R} $Equation 5

Entonces, la respuesta del circuito RL en serie, cuando es excitado por una fuente de voltaje de CC, tiene los siguientes dos términos.

• El primer término $ - \ frac {V} {R} e ^ {- \ lgroup \ frac {R} {L} \ rgroup t} $ corresponde al transient response.

• El segundo término $ \ frac {V} {R} $ corresponde con el steady state response. Estas dos respuestas se muestran en la siguiente figura.

Podemos reescribir la Ecuación 5 de la siguiente manera:

$ i = \ frac {V} {R} \ lgrupo 1 - e ^ {- \ lgrupo \ frac {R} {L} \ rgrupo t} \ rgrupo $

$ \ Rightarrow i = \ frac {V} {R} \ lgroup 1 - e ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} \ rgroup $Equation 6

Dónde, τ es el time constant y su valor es igual a $ \ frac {L} {R} $.

Tanto la Ecuación 5 como la Ecuación 6 son iguales. Pero, podemos entender fácilmente la forma de onda anterior de la corriente que fluye a través del circuito de la Ecuación 6 sustituyendo algunos valores det como 0, τ, 2τ, 5τ, etc.

En la forma de onda anterior de la corriente que fluye a través del circuito, la respuesta transitoria presentará hasta cinco constantes de tiempo desde cero, mientras que la respuesta de estado estable se presentará a partir de cinco constantes de tiempo en adelante.