Teoría de redes: conversión de estrella a estrella

En el capítulo anterior, discutimos un problema de ejemplo relacionado con la resistencia equivalente. Allí, calculamos elequivalent resistanceentre los terminales A y B de la red eléctrica dada fácilmente. Porque, en cada paso, obtuvimos la combinación de resistencias que están conectadas en forma de serie o en paralelo.

Sin embargo, en algunas situaciones, es difícil simplificar la red siguiendo el enfoque anterior. Por ejemplo, las resistencias conectadas en forma delta (δ) o en forma de estrella. En tales situaciones, tenemos queconvertla red de una forma a la otra para simplificarla aún más mediante el uso de combinación en serie o combinación en paralelo. En este capítulo, analicemos laDelta to Star Conversion.

Red Delta

Considera lo siguiente delta network como se muestra en la siguiente figura.

Las siguientes ecuaciones representan la equivalent resistance entre dos terminales de la red delta, cuando el tercer terminal se mantiene abierto.

$$ R_ {AB} = \ frac {(R_1 + R_3) R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_ {BC} = \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_ {CA} = \ frac {(R_2 + R_3) R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Star Network

La siguiente figura muestra el equivalent star network correspondiente a la red delta anterior.

Las siguientes ecuaciones representan la equivalent resistance entre dos terminales de la red en estrella, cuando el tercer terminal se mantiene abierto.

$$ R_ {AB} = R_A + R_B $$

$$ R_ {BC} = R_B + R_C $$

$$ R_ {CA} = R_C + R_A $$

Resistencias de red en estrella en términos de resistencias de red Delta

Obtendremos las siguientes ecuaciones al igualar los términos del lado derecho de las ecuaciones anteriores para los cuales los términos del lado izquierdo son los mismos.

$ R_A + R_B = \ frac {(R_1 + R_3) R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 1

$ R_B + R_C = \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 2

$ R_C + R_A = \ frac {(R_2 + R_3) R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 3

Al sumar las tres ecuaciones anteriores, obtendremos

$$ 2 (R_A + R_B + R_C) = \ frac {2 (R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1)} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$ \ Flecha derecha R_A + R_B + R_C = \ frac {R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $ Equation 4

Reste la Ecuación 2 de la Ecuación 4.

$ R_A + R_B + R_C - (R_B + R_C) = \ frac {R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} - \ frac {(R_1 + R_2) R_3} {R_1 + R_2 + R_3} PS

$$ R_A = \ frac {R_1 R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Restando la Ecuación 3 de la Ecuación 4, obtendremos

$$ R_B = \ frac {R_2 R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Restando la Ecuación 1 de la Ecuación 4, obtendremos

$$ R_C = \ frac {R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Al utilizar las relaciones anteriores, podemos encontrar las resistencias de la red en estrella a partir de las resistencias de la red delta. De esta forma, podemos convertir undelta network en una star network.

Ejemplo

Calculemos el resistances of star network, que son equivalentes a los de la red delta como se muestra en la siguiente figura.

Dado que resistances of delta networkcomo R ₁ = 10 Ω, R ₂ = 60 Ω y R ₃ = 30 Ω.

Conocemos las siguientes relaciones de las resistencias de la red en estrella en términos de resistencias de la red delta.

$$ R_A = \ frac {R_1 R_2} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_B = \ frac {R_2 R_3} {R_1 + R_2 + R_3} $$

$$ R_C = \ frac {R_3 R_1} {R_1 + R_2 + R_3} $$

Sustituye los valores de R ₁ , R ₂ y R ₃ en las ecuaciones anteriores.

$$ R_A = \ frac {10 \ times 60} {10 + 60 + 30} = \ frac {600} {100} = 6 \ Omega $$

$$ R_B = \ frac {60 \ times 30} {10 + 60 + 30} = \ frac {1800} {100} = 18 \ Omega $$

$$ R_C = \ frac {30 \ times 10} {10 + 60 + 30} = \ frac {300} {100} = 3 \ Omega $$

Entonces, obtuvimos las resistencias de la red en estrella como R_A = 6 Ω, R_B = 18 Ω y R_C = 3 Ω, que son equivalentes a las resistencias de la red delta dada.