Teoría de redes: respuesta de circuitos de CA
En el capítulo anterior, discutimos la respuesta transitoria y la respuesta de estado estable del circuito de CC. En este capítulo, analicemos elresponse of AC circuit. Los conceptos tanto de respuesta transitoria como de respuesta en estado estable, que discutimos en el capítulo anterior, también serán útiles aquí.
Encontrar la respuesta del circuito serie RL
Considera lo siguiente series RL circuit diagrama.
En el circuito anterior, el switch se mantuvo openhasta t = 0 y se cerró en t = 0 . Entonces, la fuente de voltaje CA que tiene un voltaje pico de V m voltios no está conectada al circuito RL en serie hasta este momento. Por lo tanto, hayno initial current fluye a través del inductor.
El diagrama del circuito, cuando el switch es en closed posición, se muestra en la siguiente figura.
Ahora, la corriente i (t) fluye en todo el circuito, ya que la fuente de voltaje de CA que tiene un voltaje pico de V m voltios está conectada al circuito en serie RL.
Sabemos que la corriente i (t) que fluye a través del circuito anterior tendrá dos términos, uno que representa la parte transitoria y el otro término representa el estado estable.
Matemáticamente, se puede representar como
$ i (t) = i_ {Tr} (t) + i_ {ss} (t) $Equation 1
Dónde,
$ i_ {Tr} (t) $ es la respuesta transitoria de la corriente que fluye a través del circuito.
$ i_ {ss} (t) $ es la respuesta de estado estable de la corriente que fluye a través del circuito.
En el capítulo anterior, obtuvimos la respuesta transitoria de la corriente que fluye a través del circuito en serie RL. Tiene la forma de $ Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $.
Sustituya $ i_ {Tr} (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} $ en la Ecuación 1.
$ i (t) = Ke ^ {- \ lgrupo \ frac {t} {\ tau} \ rgrupo} + i_ {ss} (t) $Equation 2
Cálculo de la corriente de estado estacionario
Si se aplica una señal sinusoidal como entrada a un circuito eléctrico lineal, entonces produce una salida de estado estable, que también es un sinusoidal signal. Tanto las señales sinusoidales de entrada como de salida tendrán la misma frecuencia, pero diferentes amplitudes y ángulos de fase.
Podemos calcular la respuesta de estado estable de un circuito eléctrico, cuando es excitado por una fuente de voltaje sinusoidal usando Laplace Transform approach.
El diagrama de circuito de dominio s, cuando el switch es en closed posición, se muestra en la siguiente figura.
En el circuito anterior, todas las cantidades y parámetros están representados en s-domain. Estas son las transformadas de Laplace de cantidades y parámetros en el dominio del tiempo.
los Transfer function del circuito anterior es
$$ H (s) = \ frac {I (s)} {V (s)} $$
$$ \ Flecha derecha H (s) = \ frac {1} {Z (s)} $$
$$ \ Flecha derecha H (s) = \ frac {1} {R + sL} $$
Sustituye $ s = j \ omega $ en la ecuación anterior.
$$ H (j \ omega) = \ frac {1} {R + j \ omega L} $$
Magnitude of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $ es
$$ | H (j \ omega) | = \ frac {1} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2} L ^ 2} $$
Phase angle of $ \ mathbf {\ mathit {H (j \ omega)}} $ es
$$ \ angle H (j \ omega) = -tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup $$
Obtendremos el steady state current $ i_ {ss} (t) $ realizando los siguientes dos pasos:
Multiplique el voltaje pico del voltaje sinusoidal de entrada y la magnitud de $ H (j \ omega) $.
Sume los ángulos de fase del voltaje sinusoidal de entrada y $ H (j \ omega) $.
los steady state current $ i_ {ss} (t) $ será
$$ i_ {ss} (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
Sustituya el valor de $ i_ {ss} (t) $ en la Ecuación 2.
$ i (t) = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 3
Sabemos que no hay corriente inicial en el circuito. Por lo tanto, sustituya t = 0 & i (t) = 0 en la Ecuación 3 para encontrar el valor de la constante K.
$$ 0 = Ke ^ {- \ lgroup \ frac {0} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega (0) + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
$$ \ Flecha derecha 0 = K + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
$$ \ Rightarrow K = - \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
Sustituye el valor de K en la Ecuación 3.
$ i (t) = - \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup e ^ {- \ lgroup \ frac {t} {\ tau} \ rgroup} + \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2 }} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $Equation 4
La ecuación 4 representa la corriente que fluye a través del circuito en serie RL, cuando es excitada por una fuente de voltaje sinusoidal. Tiene dos mandatos. Los términos primero y segundo representan la respuesta transitoria y la respuesta de estado estable de la corriente, respectivamente.
Podemos neglect the first termde la Ecuación 4 porque su valor será mucho menor que uno. Entonces, la corriente resultante que fluye a través del circuito será
$$ i (t) = \ frac {V_m} {\ sqrt {R ^ 2 + {\ omega} ^ 2 L ^ 2}} sin \ lgroup \ omega t + \ varphi - tan ^ {- 1} \ lgroup \ frac {\ omega L} {R} \ rgroup \ rgroup $$
Contiene solo el steady state term. Por lo tanto, podemos encontrar solo la respuesta de estado estable de los circuitos de CA y despreciar la respuesta transitoria de la misma.