Punto extremo de un conjunto convexo

Sea S un conjunto convexo en $ \ mathbb {R} ^ n $. Se dice que un vector $ x \ en S $ es un punto extremo de S si $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $ con $ x_1, x_2 \ en S $ y $ \ lambda \ en \ left (0, 1 \ right) \ Rightarrow x = x_1 = x_2 $.

Ejemplo

Step 1 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 1 \ right \ PS

Punto extremo, $ E = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} = 1 \ right PS

Step 2 - $ S = \ left \ {\ left (x_1, x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ 2: x_1 + x_2 <2, -x_1 + 2x_2 \ leq 2, x_1, x_2 \ geq 0 \ right \ PS

Punto extremo, $ E = \ left \ {\ left (0, 0 \ right), \ left (2, 0 \ right), \ left (0, 1 \ right), \ left (\ frac {2} {3 }, \ frac {4} {3} \ right) \ right \} $

Step 3 - S es el politopo formado por los puntos $ \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2, 4 \ derecha), \ izquierda (0,2 \ derecha) \ derecha \} $

Punto extremo, $ E = \ left \ {\ left (0,0 \ right), \ left (1,1 \ right), \ left (1,3 \ right), \ left (-2,4 \ right) \ right \} $

Observaciones

• Cualquier punto del conjunto convexo S, puede representarse como una combinación convexa de sus puntos extremos.

• Solo es cierto para conjuntos cerrados y acotados en $ \ mathbb {R} ^ n $.

• Puede que no sea cierto para conjuntos ilimitados.

k puntos extremos

Un punto en un conjunto convexo se llama k extremo si y solo si es el punto interior de un conjunto convexo de k dimensiones dentro de S, y no es un punto interior de un conjunto convexo de dimensiones k + 1 dentro de S. Básicamente, para un conjunto convexo S, k puntos extremos forman caras abiertas k-dimensionales.