Función pseudoconvexa

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una función diferenciable y S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $, entonces se dice que f es pseudoconvexo si para cada $ x_1, x_2 \ in S $ con $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, tenemos $ f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left ( x_1 \ right) $, o equivalentemente si $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ entonces $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $

Función pseudoconcava

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una función diferenciable y S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $, entonces se dice que f es pseudoconvexo si para cada $ x_1, x_2 \ in S $ con $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, tenemos $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left ( x_1 \ right) $, o equivalentemente si $ f \ left (x_1 \ right)> f \ left (x_2 \ right) $ entonces $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right )> 0 $

Observaciones

  • Si una función es tanto pseudoconvexa como pseudoconcava, entonces se llama pseudolinear.

  • Una función convexa diferenciable también es pseudoconvexa.

  • Una función pseudoconvexa puede no ser convexa. Por ejemplo,

    $ f \ left (x \ right) = x + x ^ 3 $ no es convexo. Si $ x_1 \ leq x_2, x_ {1} ^ {3} \ leq x_ {2} ^ {3} $

    Por lo tanto, $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) = \ left (1 + 3x_ {1} ^ {2} \ right) \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $

    Y $ f \ left (x_2 \ right) -f \ left (x_1 \ right) = \ left (x_2-x_1 \ right) + \ left (x_ {2} ^ {3} -x_ {1} ^ {3 } \ right) \ geq 0 $

    $ \ Rightarrow f \ left (x_2 \ right) \ geq f \ left (x_1 \ right) $

    Por tanto, es pseudoconvexo.

    Una función pseudoconvexa es estrictamente cuasiconvexa. Por lo tanto, cada mínimo local de pseudoconvexo es también mínimo global.

Función estrictamente pseudoconvexa

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una función diferenciable y S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $, entonces se dice que f es pseudoconvexo si para cada $ x_1, x_2 \ in S $ con $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right) \ geq 0 $, tenemos $ f \ left (x_2 \ right)> f \ left (x_1 \ right) $, o equivalentemente si $ f \ left (x_1 \ right) \ geq f \ left (x_2 \ right) $ entonces $ \ bigtriangledown f \ left (x_1 \ right) ^ T \ left (x_2-x_1 \ right ) <0 $

Teorema

Sea f una función pseudoconvexa y suponga que $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $ para algunos $ \ hat {x} \ en S $, entonces $ \ hat {x} $ es global óptimo solución de f sobre S.

Prueba

Sea $ \ hat {x} $ un punto crítico de f, es decir, $ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

Como f es una función pseudoconvexa, para $ x \ en S, $ tenemos

$$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) \ left (x- \ hat {x} \ right) = 0 \ Rightarrow f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ derecha), \ forall x \ in S $$

Por tanto, $ \ hat {x} $ es la solución óptima global.

Observación

Si f es una función estrictamente pseudoconvexa, $ \ hat {x} $ es una solución óptima global única.

Teorema

Si f es una función pseudoconvexa diferenciable sobre S, entonces f es tanto una función estrictamente cuasiconvexa como cuasiconvexa.

Observaciones

  • La suma de dos funciones pseudoconvexas definidas en un conjunto abierto S de $ \ mathbb {R} ^ n $ puede no ser pseudoconvexa.

  • Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una función cuasiconvexa y S un subconjunto convexo no vacío de $ \ mathbb {R} ^ n $ entonces f es pseudoconvexo si y solo si cada punto crítico es un global mínimos de f sobre S.

  • Sea S un subconjunto convexo no vacío de $ \ mathbb {R} ^ n $ y $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ una función tal que $ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) \ neq 0 $ por cada $ x \ en S $ entonces f es pseudoconvexo si y solo si es una función cuasiconvexa.