Teorema de Caratheodory

Sea S un conjunto arbitrario en $ \ mathbb {R} ^ n $. Si $ x \ in Co \ left (S \ right) $, entonces $ x \ in Co \ left (x_1, x_2, ...., x_n, x_ {n + 1} \ right) $.

Prueba

Como $ x \ en Co \ left (S \ right) $, entonces $ x $ se representa mediante una combinación convexa de un número finito de puntos en S, es decir,

$ x = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_jx_j, \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ lambda_j = 1, \ lambda_j \ geq 0 $ y $ x_j \ en S, \ forall j \ in \ left (1, k \ right) $

Si $ k \ leq n + 1 $, el resultado obtenido es obviamente cierto.

Si $ k \ geq n + 1 $, entonces $ \ left (x_2-x_1 \ right) \ left (x_3-x_1 \ right), ....., \ left (x_k-x_1 \ right) $ son linealmente dependientes .

$ \ Rightarrow \ existe \ mu _j \ in \ mathbb {R}, 2 \ leq j \ leq k $ (no todo cero) tal que $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j \ left (x_j-x_1 \ right) = 0 $

Defina $ \ mu_1 = - \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 2} ^ k \ mu _j $, luego $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j x_j = 0, \ displaystyle \ sum \ límites_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $

donde no todos los $ \ mu_j's $ son iguales a cero. Dado que $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ mu_j = 0 $, al menos uno de los $ \ mu_j> 0,1 \ leq j \ leq k $

Entonces, $ x = \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j + 0 $

$ x = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ lambda_j x_j- \ alpha \ displaystyle \ sum \ limits_ {1} ^ k \ mu_j x_j $

$ x = \ estilo de visualización \ sum \ límites_ {1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $

Elija $ \ alpha $ de modo que $ \ alpha = min \ left \ {\ frac {\ lambda_j} {\ mu_j}, \ mu_j \ geq 0 \ right \} = \ frac {\ lambda_j} {\ mu _j}, $ para unos $ i = 1,2, ..., k $

Si $ \ mu_j \ leq 0, \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0 $

Si $ \ mu_j> 0, entonces \: \ frac {\ lambda _j} {\ mu_j} \ geq \ frac {\ lambda_i} {\ mu _i} = \ alpha \ Rightarrow \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq 0, j = 1,2, ... k $

En particular, $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $, por definición de $ \ alpha $

$ x = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) x_j $, donde

$ \ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ geq0 $ y $ \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ left (\ lambda_j- \ alpha \ mu_j \ right) = 1 $ y $ \ lambda_i- \ alpha \ mu_i = 0 $

Por tanto, x se puede representar como una combinación convexa de como máximo (k-1) puntos.

Este proceso de reducción puede repetirse hasta que x se represente como una combinación convexa de (n + 1) elementos.