Optimización convexa: dirección
Sea S un conjunto convexo cerrado en $ \ mathbb {R} ^ n $. Un vector distinto de cero $ d \ in \ mathbb {R} ^ n $ se llama una dirección de S si para cada $ x \ en S, x + \ lambda d \ en S, \ forall \ lambda \ geq 0. $
Dos direcciones $ d_1 $ y $ d_2 $ de S se denominan distintas si $ d \ neq \ alpha d_2 $ para $ \ alpha> 0 $.
Se dice que una dirección $ d $ de $ S $ es una dirección extrema si no se puede escribir como una combinación lineal positiva de dos direcciones distintas, es decir, si $ d = \ lambda _1d_1 + \ lambda _2d_2 $ para $ \ lambda _1, \ lambda _2> 0 $, luego $ d_1 = \ alpha d_2 $ por unos $ \ alpha $.
Cualquier otra dirección puede expresarse como una combinación positiva de direcciones extremas.
Para un conjunto convexo $ S $, la dirección d tal que $ x + \ lambda d \ en S $ para algunos $ x \ en S $ y todos $ \ lambda \ geq0 $ se llama recessive por $ S $.
Sea E el conjunto de los puntos donde una determinada función $ f: S \ rightarrow $ sobre un conjunto convexo no vacío S en $ \ mathbb {R} ^ n $ alcanza su máximo, entonces $ E $ se llama cara expuesta de $ S $. Las direcciones de las caras expuestas se denominan direcciones expuestas.
Un rayo cuya dirección es una dirección extrema se llama rayo extremo.
Ejemplo
Considere la función $ f \ left (x \ right) = y = \ left | x \ right | $, donde $ x \ in \ mathbb {R} ^ n $. Sea d un vector unitario en $ \ mathbb {R} ^ n $
Entonces, d es la dirección de la función f porque para cualquier $ \ lambda \ geq 0, x + \ lambda d \ in f \ left (x \ right) $.