Condiciones necesarias de la óptima Karush-Kuhn-Tucker

Considere el problema:

$ min \: f \ left (x \ right) $ tal que $ x \ en X $, donde X es un conjunto abierto en $ \ mathbb {R} ^ n $ y $ g_i \ left (x \ right) \ leq 0, yo = 1, 2, ..., m $

Sea $ S = \ left \ {x \ in X: g_i \ left (x \ right) \ leq 0, \ forall i \ right \} $

Sea $ \ hat {x} \ en S $ y deje que $ f $ y $ g_i, i \ in I $ sean diferenciables en $ \ hat {x} $ y $ g_i, i \ in J $ sean continuos en $ \ hat {x} $. Además, $ \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right), i \ en I $ son linealmente independientes. Si $ \ hat {x} $ resuelve el problema anterior localmente, entonces existe $ u_i, i \ in I $ tal que

$ \ bigtriangledown f \ left (x \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i \ in I} u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $, $ \: \: u_i \ geq 0, i \ in I $

Si $ g_i, i \ en J $ también son diferenciables en $ \ hat {x} $. luego $ \ hat {x} $, luego

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) + \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ m u_i \ bigtriangledown g_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0 $

$ u_ig_i \ left (\ hat {x} \ right) = 0, \ forall i = 1,2, ..., m $

$ u_i \ geq 0 \ forall i = 1,2, ..., m $

Ejemplo

Considere el siguiente problema:

$ min \: f \ left (x_1, x_2 \ right) = \ left (x_1-3 \ right) ^ 2 + \ left (x_2-2 \ right) ^ 2 $

tal que $ x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} \ leq 5 $,

$ x_1,2x_2 \ geq 0 $ y $ \ hat {x} = \ left (2,1 \ right) $

Deje $ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} -5 $,

$ g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) = x_ {1} + 2x_2-4 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_ {1} $ y $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) = - x_2 $

Por lo tanto, las restricciones anteriores se pueden escribir como:

$ g_1 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, g_2 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $

$ g_3 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0, $ y $ g_4 \ left (x_1, x_2 \ right) \ leq 0 $ Por lo tanto, $ I = \ left \ {1,2 \ right \} $ por lo tanto , $ u_3 = 0, \: \: u_4 = 0 $

$ \ bigtriangledown f \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (2, -2 \ right), \ bigtriangledown g_1 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (4,2 \ right ) $ y

$ \ bigtriangledown g_2 \ left (\ hat {x} \ right) = \ left (1,2 \ right) $

Por lo tanto, poniendo estos valores en la primera condición de las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker, obtenemos:

$ u_1 = \ frac {1} {3} $ y $ u_2 = \ frac {2} {3} $

Por tanto, se cumplen las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.