Funciones cuasiconvexas y cuasicóncavas

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ donde $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ es un conjunto convexo no vacío. Se dice que la función f es cuasiconvexa si para cada $ x_1, x_2 \ en S $, tenemos $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Por ejemplo, $ f \ left (x \ right) = x ^ {3} $

Sea $ f: S \ rightarrow R $ donde $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ es un conjunto convexo no vacío. Se dice que la función f es cuasiconvexa si para cada $ x_1, x_2 \ en S $, tenemos $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq min \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $

Observaciones

• Toda función convexa es cuasiconvexa pero lo contrario no es cierto.
• Una función que es tanto cuasiconvexa como cuasicóncava se llama cuasimonotona.

Teorema

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ y S es un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $. La función f es cuasiconvexa si y solo si $ S _ {\ alpha} = \ left (x \ in S: f \ left (x \ right) \ leq \ alpha \ right \} $ es convexa para cada número real \ alpha $

Prueba

Sea f cuasiconvexo en S.

Deje $ x_1, x_2 \ en S _ {\ alpha} $ por lo tanto $ x_1, x_2 \ en S $ y $ max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Deje $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ y deje $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right) , f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ Rightarrow x \ in S $

Por lo tanto, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} \ leq \ alpha $

Por tanto, $ S _ {\ alpha} $ es convexo.

Conversar

Sea $ S _ {\ alpha} $ convexo para cada $ \ alpha $

$ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $

$ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Sea $ x = \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 $

Para $ x_1, x_2 \ en S _ {\ alpha}, \ alpha = max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $

$ \ Rightarrow \ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ in S _ {\ alpha} $

$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ alpha $

Por lo tanto probado.

Teorema

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ y S es un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $. La función f es cuasicóncava si y solo si $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) \ geq \ alpha \ right \} $ es convexo para cada número real $ \ alpha $.

Teorema

Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ y S es un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $. La función f es cuasimonotona si y solo si $ S _ {\ alpha} = \ left \ {x \ in S: f \ left (x \ right) = \ alpha \ right \} $ es convexa para cada número real $ \ alpha PS