Optimización convexa: conos
Se dice que un conjunto C no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $ es un cono con vértice 0 si $ x \ en C \ Rightarrow \ lambda x \ en C \ forall \ lambda \ geq 0 $.
Un conjunto C es un cono convexo si es tanto convexo como cónico.
Por ejemplo, $ y = \ left | x \ right | $ no es un cono convexo porque no es convexo.
Pero, $ y \ geq \ left | x \ right | $ es un cono convexo porque es tanto convexo como cono.
Note - Un cono C es convexo si y solo si para cualquier $ x, y \ en C, x + y \ en C $.
Prueba
Como C es cono, para $ x, y \ en C \ Rightarrow \ lambda x \ en C $ y $ \ mu y \ en C \: \ forall \: \ lambda, \ mu \ geq 0 $
C es convexa si $ \ lambda x + \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \: \ forall \: \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Como C es cono, $ \ lambda x \ en C $ y $ \ left (1- \ lambda \ right) y \ in C \ Leftrightarrow x, y \ in C $
Por tanto, C es convexa si $ x + y \ en C $
En general, si $ x_1, x_2 \ en C $, entonces, $ \ lambda_1x_1 + \ lambda_2x_2 \ en C, \ forall \ lambda_1, \ lambda_2 \ geq 0 $
Ejemplos
La combinación cónica de un conjunto infinito de vectores en $ \ mathbb {R} ^ n $ es un cono convexo.
Cualquier conjunto vacío es un cono convexo.
Cualquier función lineal es un cono convexo.
Dado que un hiperplano es lineal, también es un cono convexo.
Los medios espacios cerrados también son conos convexos.
Note - La intersección de dos conos convexos es un cono convexo pero su unión puede ser o no un cono convexo.