Función fuertemente cuasiconvexa
Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ y S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $ entonces f es una función fuertemente cuasiconvexa si para cualquier $ x_1, x_2 \ en S $ con $ \ left (x_1 \ right) \ neq \ left (x_2 \ right) $, tenemos $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <max \: \ izquierda \ {f \ izquierda (x_1 \ derecha), f \ izquierda (x_2 \ derecha) \ derecha \}, \ forall \ lambda \ in \ izquierda (0,1 \ derecha) $
Teorema
Una función cuasiconvexa $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ en un conjunto convexo no vacío S en $ \ mathbb {R} ^ n $ es una función fuertemente cuasiconvexa si no es constante en un segmento de línea que une cualquier puntos de S.
Prueba
Sea f una función cuasiconvexa y no es constante en un segmento de línea que une cualquier punto de S.
Suponga que f no es una función fuertemente cuasiconvexa.
Existen $ x_1, x_2 \ en S $ con $ x_1 \ neq x_2 $ tales que
$$ f \ left (z \ right) \ geq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \}, \ forall z = \ lambda x_1 + \ left (1 - \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $$
$ \ Rightarrow f \ left (x_1 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ y $ f \ left (x_2 \ right) \ leq f \ left (z \ right) $
Dado que f no es constante en $ \ left [x_1, z \ right] $ y $ \ left [z, x_2 \ right] $
Entonces existe $ u \ in \ left [x_1, z \ right] $ y $ v = \ left [z, x_2 \ right] $
$$ \ Rightarrow u = \ mu_1x_1 + \ left (1- \ mu_1 \ right) z, v = \ mu_2z + \ left (1- \ mu_2 \ right) x_2 $$
Dado que f es cuasiconvexo,
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (x_1 \ right), f \ left (z \ right) \ right \} = f \ left (z \ right) \ : \: y \: \: f \ left (v \ right) \ leq max \ left \ {f \ left (z \ right), f \ left (x_2 \ right) \ right \} $$
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (z \ right) \: \: y \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ left (z \ right) $ PS
$$ \ Rightarrow max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $$
Pero z es cualquier punto entre uyv, si alguno de ellos es igual, entonces f es constante.
Por lo tanto, $ max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} \ leq f \ left (z \ right) $
lo cual contradice la cuasiconvexidad de f como $ z \ in \ left [u, v \ right] $.
Por tanto, f es una función fuertemente cuasiconvexa.
Teorema
Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $ y S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $. Si $ \ hat {x} $ es la solución óptima local, entonces $ \ hat {x} $ es la solución óptima global única.
Prueba
Dado que una función cuasiconvexa fuerte también es estrictamente una función cuasiconvexa, una solución óptima local es una solución óptima global.
Uniqueness - Sea f alcanza la solución global óptima en dos puntos $ u, v \ en S $
$$ \ Rightarrow f \ left (u \ right) \ leq f \ left (x \ right). \ Forall x \ in S \: \: y \: \: f \ left (v \ right) \ leq f \ izquierda (x \ derecha). \ forall x \ in S $$
Si u es la solución global óptima, $ f \ left (u \ right) \ leq f \ left (v \ right) $ y $ f \ left (v \ right) \ leq f \ left (u \ right) \ Rightarrow f \ left (u \ right) = f \ left (v \ right) $
$$ f \ left (\ lambda u + \ left (1- \ lambda \ right) v \ right) <max \ left \ {f \ left (u \ right), f \ left (v \ right) \ right \} = f \ izquierda (u \ derecha) $$
lo cual es una contradicción.
Por tanto, solo existe una solución óptima global.
Observaciones
- Una función fuertemente cuasiconvexa es también una función estrictamente cuasiconvexa.
- Una función estrictamente convexa puede ser muy cuasiconvexa o no.
- Un estrictamente convexo diferenciable es fuertemente cuasiconvexo.