Optimización convexa: mínimos y máximos

Mínimo local o Minimizar

$ \ bar {x} \ in \: S $ se dice que es el mínimo local de una función $ f $ si $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ donde $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ significa vecindario de $ \ bar {x} $, es decir, $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ significa $ \ left \ | x- \ bar {x} \ right \ | <\ varepsilon $

Máximo local o maximizador

$ \ bar {x} \ in \: S $ se dice que son máximos locales de una función $ f $ si $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ geq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ donde $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ significa vecindario de $ \ bar {x} $, es decir, $ N_ \ varepsilon \ left (\ bar {x} \ right) $ significa $ \ left \ | x- \ bar {x} \ right \ | <\ varepsilon $

Mínimos globales

$ \ bar {x} \ in \: S $ se dice que es el mínimo global de una función $ f $ si $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ por todo x \ en S $

Máximos globales

$ \ bar {x} \ in \: S $ se dice que es el máximo global de una función $ f $ si $ f \ left (\ bar {x} \ right) \ geq f \ left (x \ right), \ por todo x \ en S $

Ejemplos

Step 1- Encuentra los mínimos y máximos locales de $ f \ left (\ bar {x} \ right) = \ left | x ^ 2-4 \ right | $

Solution -

De la gráfica de la función anterior, está claro que los mínimos locales ocurren en $ x = \ pm 2 $ y los máximos locales en $ x = 0 $

Step 2- Encuentra los mínimos globales de la función $ f \ left (x \ right) = \ left | 4x ^ 3-3x ^ 2 + 7 \ right | $

Solution -

Del gráfico de la función anterior, está claro que los mínimos globales ocurren en $ x = -1 $.