Función convexa y cóncava
Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, donde S es un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $, entonces $ f \ left (x \ right) $ se dice que es convexo en S if $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left ( x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0,1 \ right) $.
Por otro lado, sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, donde S es un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $, entonces se dice $ f \ left (x \ right) $ ser cóncavo en S si $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ geq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right ) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ donde S es un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $, entonces $ f \ left (x \ right) $ se dice que es estrictamente convexo en S si $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) <\ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ donde S es un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $, entonces $ f \ left (x \ right) $ se dice que es estrictamente cóncavo en S if $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right)> \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $.
Ejemplos
Una función lineal es tanto convexa como cóncava.
$ f \ left (x \ right) = \ left | x \ right | $ es una función convexa.
$ f \ left (x \ right) = \ frac {1} {x} $ es una función convexa.
Teorema
Sean $ f_1, f_2, ..., f_k: \ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $ funciones convexas. Considere la función $ f \ left (x \ right) = \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (x \ right) $ donde $ \ alpha_j> 0, j = 1, 2,. ..k, $ entonces $ f \ left (x \ right) $ es una función convexa.
Prueba
Dado que $ f_1, f_2, ... f_k $ son funciones convexas
Por lo tanto, $ f_i \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f_i \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_i \ left (x_2 \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $ y $ i = 1, 2, ...., k $
Considere la función $ f \ left (x \ right) $.
Por lo tanto,
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) $
$ = \ Displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_jf_j \ left (\ lambda x_1 + 1- \ lambda \ right) x_2 \ leq \ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha_j \ lambda f_j \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f_j \ left (x_2 \ right) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left ( x_1 \ right) \ right) + \ left (\ displaystyle \ sum \ limits_ {j = 1} ^ k \ alpha _jf_j \ left (x_2 \ right) \ right) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_2 \ right) \ leq \ left (1- \ lambda \ right) f \ izquierda (x_2 \ right) $
Por tanto, $ f \ left (x \ right) $ es una función convexa.
Teorema
Sea $ f \ left (x \ right) $ una función convexa en un conjunto convexo $ S \ subset \ mathbb {R} ^ n $ entonces un mínimo local de $ f \ left (x \ right) $ en S es un mínimos globales.
Prueba
Sea $ \ hat {x} $ un mínimo local para $ f \ left (x \ right) $ y $ \ hat {x} $ no es un mínimo global.
por lo tanto, $ \ existe \ hat {x} \ en S $ tal que $ f \ left (\ bar {x} \ right) <f \ left (\ hat {x} \ right) $
Como $ \ hat {x} $ es un mínimo local, existe un vecindario $ N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) $ tal que $ f \ left (\ hat {x} \ right) \ leq f \ left (x \ right), \ forall x \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $
Pero $ f \ left (x \ right) $ es una función convexa en S, por lo tanto, para $ \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
tenemos $ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ leq \ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (\ bar {x} \ right) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <\ lambda f \ left (\ hat {x} \ right) + \ left (1- \ lambda \ derecha) f \ left (\ hat {x} \ right) $
$ \ Rightarrow \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} <f \ left (\ hat {x} \ right), \ forall \ lambda \ in \ left (0 , 1 \ derecha) $
Pero para algunos $ \ lambda <1 $ pero cerca de 1, tenemos
$ \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ in N_ \ varepsilon \ left (\ hat {x} \ right) \ cap S $ y $ f \ left ( \ lambda \ hat {x} + \ left (1- \ lambda \ right) \ bar {x} \ right) <f \ left (\ bar {x} \ right) $
lo cual es una contradicción.
Por tanto, $ \ bar {x} $ es un mínimo global.
Epígrafe
sea S un subconjunto no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $ y sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $ entonces el epígrafe de f denotado por epi (f) o $ E_f $ es un subconjunto de $ \ mathbb {R} ^ n + 1 $ definido por $ E_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb { R}, f \ izquierda (x \ derecha) \ leq \ alpha \ derecha \} $
Hipografo
sea S un subconjunto no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $ y sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} $, luego el hipograma de f denotado por hyp (f) o $ H_f = \ left \ {\ left (x, \ alpha \ right): x \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R} ^ n, \ alpha \ in \ mathbb {R}, f \ left ( x \ derecha) \ geq \ alpha \ right \} $
Teorema
Sea S un conjunto convexo no vacío en $ \ mathbb {R} ^ n $ y sea $ f: S \ rightarrow \ mathbb {R} ^ n $, entonces f es convexa si y solo si su epígrafe $ E_f $ es un conjunto convexo.
Prueba
Sea f una función convexa.
Para mostrar $ E_f $ es un conjunto convexo.
Deje $ \ left (x_1, \ alpha_1 \ right), \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ in E_f, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right) $
Para mostrar $ \ lambda \ left (x_1, \ alpha_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ left (x_2, \ alpha_2 \ right) \ en E_f $
$ \ Rightarrow \ left [\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 \ right] \ in E_f $
$ f \ izquierda (x_1 \ derecha) \ leq \ alpha _1, f \ izquierda (x_2 \ derecha) \ leq \ alpha _2 $
Por lo tanto, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ derecha) $
$ \ Rightarrow f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda \ alpha_1 + \ left (1- \ lambda \ right) \ alpha_2 $
Conversar
Sea $ E_f $ un conjunto convexo.
Para mostrar f es convexa.
es decir, para mostrar si $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ left (0, 1 \ right) $
$ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ right) $
Deje $ x_1, x_2 \ in S, \ lambda \ in \ left (0, 1 \ right), f \ left (x_1 \ right), f \ left (x_2 \ right) \ in \ mathbb {R} $
Como $ E_f $ es un conjunto convexo, $ \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2, \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) \ derecha) f \ left (x_2 \ right) \ in E_f $
Por lo tanto, $ f \ left (\ lambda x_1 + \ left (1- \ lambda \ right) x_2 \ right) \ leq \ lambda f \ left (x_1 \ right) + \ left (1- \ lambda \ right) f \ left (x_2 \ derecha) $